Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 89?

Odpowiedź:

Pierwiastek kwadratowy z #89# to liczba, którą daje kwadrat #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Wyjaśnienie:

Od #89# jest pierwszy, #sqrt (89) # nie można uprościć.

Możesz go przybliżyć za pomocą metody Newtona Raphsona.

Lubię go przeformułować w następujący sposób:

Pozwolić #n = 89 # bądź liczbą, którą chcesz pierwiastek kwadratowy.

Wybierać # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # po to aby # p_0 / q_0 # jest rozsądnym przybliżeniem racjonalnym. Od tego czasu wybrałem te szczególne wartości #89# jest w połowie drogi między #9^2 = 81# i #10^2 = 100#.

Iteruj używając formuł:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

To da lepsze racjonalne przybliżenie.

Więc:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Gdybyśmy się tu zatrzymali, uzyskalibyśmy przybliżenie:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Przejdźmy jeszcze jeden krok:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Mamy więc przybliżenie:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Ta metoda Newtona Raphsona zbiega się szybko.

#kolor biały)()#

Właściwie to raczej dobre przybliżenie #sqrt (89) # jest #500/53#, od #500^2 = 250000# i #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Jeśli zastosujemy do tego jeden krok iteracji, uzyskamy lepsze przybliżenie:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9,4339811321 #

#kolor biały)()#

Notatka

Wszystkie pierwiastki kwadratowe liczb całkowitych dodatnich powtarzają ciągłe ekspansje ułamków, które można również wykorzystać do uzyskania racjonalnych przybliżeń.

Jednak w przypadku #sqrt (89) # ciągłe rozszerzanie frakcji jest trochę chaotyczne, więc nie jest miło pracować z:

#sqrt (89) = 9; słupek (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

Przybliżenie #500/53# powyżej jest #9; 2, 3, 3, 2#