Czym jest ortocentrum trójkąta z narożnikami w (4, 7), (9, 5) i (5, 6)?

Odpowiedź:

#color (niebieski) ((5/3, -7 / 3) #

Wyjaśnienie:

Ortocentrum jest punktem, w którym spotykają się wydłużone wysokości trójkąta. To będzie wewnątrz trójkąta, jeśli trójkąt jest ostry, poza trójkątem, jeśli trójkąt jest rozwarty. W przypadku trójkąta prostokątnego będzie znajdował się na wierzchołku kąta prostego. (Dwie strony to każda wysokość).

Zwykle łatwiej jest zrobić szorstki szkic punktów, aby wiedzieć, gdzie jesteś.

Pozwolić # A = (4,7), B = (9,5), C = (5,6) #

Ponieważ wysokości przechodzą przez wierzchołek i są prostopadłe do strony przeciwnej, potrzebujemy znaleźć równania tych linii. Z definicji będzie oczywiste, że musimy znaleźć tylko dwie z tych linii. Te zdefiniują unikalny punkt. To nieważne, które wybierzesz.

Użyję:

Linia # AB # przejazdem #DO#

Linia # AC # przejazdem #B#

Dla # AB #

Najpierw znajdź gradient tego segmentu linii:

# m_1 = (6-7) / (5-4) = - 1 #

Linia prostopadła do tego będzie miała gradient, który jest ujemną odwrotnością tego:

# m_2 = -1 / m_1 = -1 / (- 1) = 1 #

To przechodzi #DO#. Używanie linii nachylenia punktowego:

# y-5 = 1 (x-9) #

# y = x-4 1 #

Dla # AC #

# m_1 = (5-7) / (9-4) = - 2/5 #

# m_2 = -1 / (- 2/5) = 5/2 #

Przejazdem #B#

# y-6 = 5/2 (x-5) #

# y = 5 / 2x-13/2 2 #

Skrzyżowanie #1# i #2# będzie ortocentrum:

Rozwiązywanie jednocześnie:

# 5 / 2x-13/2-x + 4 = 0 => x = 5/3 #

Zastępując #1#:

# y = 5 / 3-4 = -7 / 3 #

Orthocenter:

#(5/3,-7/3)#

Zauważ, że ortocentrum znajduje się poza trójkątem, ponieważ jest rozwarte. Przechodzące linie wysokości #DO# i #ZA# muszą być produkowane w D i E, aby to umożliwić.