Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Czy możesz to rozwiązać?

Odpowiedź:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Wyjaśnienie:

Mamy:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sxxxxxin + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2 cosy ^ 3 x - cosx - 2 cale ^ 2xcosx + 2 cosy ^ 2x - 1 #

# 0 = 2 cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2 cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2 cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2 cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4 cos ^ 3 x + 2 cos ^ 2x - 3 cos x 1

Pozwolić #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Widzimy to #u = -1 # jest czynnikiem. Otrzymujemy syntetyczny podział

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Równanie # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # można rozwiązać za pomocą wzoru kwadratowego.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 lub -0.309 #

Od #cosx = u #, dostajemy #x = pi / 5, (3pi) / 5 # i #Liczba Pi#.

Gdzie # n # jest liczbą całkowitą.

Wykres # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # i # y_2 = cos (3x) # potwierdza, że rozwiązania są punktami przecięcia.

Mam nadzieję, że to pomoże!

Odpowiedź:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Wyjaśnienie:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #lub

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Koło jednostek i własność cos, daj ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

za. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Jeśli k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Jeśli k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Jeśli k = 0 -> #x = - pi / 5 #lub #x = (9pi) / 5 # (ko-terminal)

Jeśli k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

W przedziale zamkniętym 0, 2pi odpowiedzi są następujące:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Sprawdź kalkulatorem.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #. Udowodniono

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Udowodniono

Odpowiedź:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Wyjaśnienie:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Zarówno #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

Odpowiedź:

Ogólne rozwiązanie nie wymaga formuły potrójnego kąta i jest

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # lub # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

dla liczby całkowitej # k #.

Wyjaśnienie:

Nie lubię czytać odpowiedzi innych ludzi, zanim sam rozwiążę pytanie. Ale pojawiła się opisana odpowiedź. Podczas mojego szybkiego spojrzenia nie mogę zauważyć, że wyglądało to dość skomplikowanie, co wydaje mi się stosunkowo łatwym pytaniem. Zrobię to.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Jestem na Socratic przez kilka tygodni, a to pojawia się jako mój temat: Ogólne rozwiązanie #cos x = cos a # jest #x = pm a + 360 ^ circ k quad # dla liczby całkowitej # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Zabieramy znaki osobno. Plus pierwszy:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Minus następny.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Jeśli przeczytasz je uważnie, możesz pomyśleć, że popełniam błąd w sposobie, w jaki manipuluję # k #. Lecz odkąd # k # rozciąga się na wszystkie liczby całkowite, podstawienia jak #k do -k # i #k do k + 1 # są dozwolone i wsuwam je, aby zachować znaki #+# kiedy mogą być.

Czek:

Wybierzmy parę do sprawdzenia. Jestem wystarczająco naukowy, by wiedzieć #cos 36 ^ circ # jest połową Złotego Stosunku, ale nie zamierzam ich dokładnie przetestować, po prostu wrzuć je do Wolfram Alpha, aby się upewnić.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 kwadratu #