Siła przykładana do obiektu poruszającego się poziomo po liniowej ścieżce jest opisana przez F (x) = x ^ 2-3x + 3. O ile energia kinetyczna obiektu zmienia się, gdy obiekt przemieszcza się z x w [0, 1]?

Odpowiedź:

Drugie prawo ruchu Newtona:

# F = m * a #

Definicje przyspieszenia i prędkości:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Energia kinetyczna:

# K = m * u ^ 2/2 #

Odpowiedź to:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Drugie prawo ruchu Newtona:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Zastępowanie # a = (du) / dt # nie pomaga w równaniu, ponieważ #FA# nie jest podana jako funkcja # t # ale jako funkcja # x # Jednak:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Ale # (dx) / dt = u # więc:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Zastępując równanie, które mamy, mamy równanie różniczkowe:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

Dwie prędkości są nieznane, ale pozycje # x # są znane. Ponadto masa jest stała:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Ale # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Uwaga: jednostki są # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # tylko jeśli podane odległości # (x w 0,1) # są w metrach.