Rozważ 3 równe okręgi o promieniu r w danym okręgu o promieniu R każdy, aby dotknąć pozostałych dwóch, a dany okrąg, jak pokazano na rysunku, to obszar zacieniowanego obszaru jest równy?

Możemy utworzyć wyrażenie dla obszaru zacieniowanego regionu w ten sposób:

#A_ "cieniowany" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centrum" #

gdzie #A_ "centrum" # to obszar małej sekcji między trzema mniejszymi okręgami.

Aby znaleźć ten obszar, możemy narysować trójkąt, łącząc środki trzech mniejszych białych okręgów. Ponieważ każdy okrąg ma promień # r #, długość każdej strony trójkąta jest # 2r # a trójkąt jest równoboczny, więc mają kąty # 60 ^ o # każdy.

Możemy zatem powiedzieć, że kąt obszaru centralnego to obszar tego trójkąta minus trzy sektory okręgu. Wysokość trójkąta jest prosta #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, więc obszar trójkąta jest # 1/2 * baza * wysokość = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Obszar trzech segmentów okręgu w tym trójkącie jest zasadniczo tym samym obszarem co połowa jednego z okręgów (z powodu kątów # 60 ^ o # każdy lub #1/6# koło, abyśmy mogli wydedukować całkowitą powierzchnię tych sektorów # 1/2 pir ^ 2 #.

Wreszcie możemy określić obszar regionu centralnego #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Wracając więc do naszego oryginalnego wyrażenia, obszar zacienionego regionu to

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Odpowiedź:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Wyjaśnienie:

Dajmy białym kręgom promień # r = 1 #. Centra tworzą trójkąt równoboczny #2#. Każda mediana / wysokość jest #sqrt {3} # więc odległość od wierzchołka do środka ciężkości jest # 2/3 sqrt {3} #.

Środek ciężkości jest środkiem dużego koła, więc odległość między środkiem dużego koła a środkiem małego okręgu. Dodajemy mały promień # r = 1 # zdobyć

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Obszar, którego szukamy, jest obszarem dużego koła pomniejszonym o trójkąt równoboczny i pozostałe #5/6# każdego małego koła.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Skalujemy według # r ^ 2 # ogólnie.

Trzy okręgi jednostek promienia r są narysowane wewnątrz trójkąta równobocznego boków jednostek tak, że każdy okrąg dotyka dwóch pozostałych okręgów i dwóch boków trójkąta. Jaki jest związek między r a a?

R / a = 1 / (2 (sqrt (3) +1) Wiemy, że a = 2x + 2r z r / x = tan (30 ^ @) x jest odległością między lewym dolnym wierzchołkiem a pionową stopą projekcji lewy dolny środek okręgu, ponieważ jeśli kąt trójkąta równobocznego ma 60 ^ @, dwusieczna ma 30 ^ @, a = 2r (1 / tan (30 ^ @) + 1), więc r / a = 1 / (2 (sqrt (3) +1)

Dwa nakładające się okręgi o równym promieniu tworzą zacieniony obszar, jak pokazano na rysunku. Wyrażaj obszar regionu i pełny obwód (łączna długość łuku) pod względem r i odległości między środkiem, D? Niech r = 4 i D = 6 i obliczyć?

Patrz wyjaśnienie. Biorąc pod uwagę AB = D = 6, => AG = D / 2 = 3 Biorąc pod uwagę r = 3 => h = sqrt (r ^ 2- (D / 2) ^ 2) = sqrt (16-9) = sqrt7 sinx = h / r = sqrt7 / 4 => x = 41,41 ^ @ Obszar GEF (czerwony obszar) = pir ^ 2 * (41,41 / 360) -1 / 2 * 3 * sqrt7 = pi * 4 ^ 2 * (41,41 / 360) - 1/2 * 3 * sqrt7 = 1,8133 Żółty obszar = 4 * Czerwony obszar = 4 * 1,8133 = 7,2532 obwód łuku (C-> E-> C) = 4xx2pirxx (41,41 / 360) = 4xx2pixx4xx (41,41 / 360) = 11,5638

Okrąg A ma promień 2 i środek (6, 5). Okrąg B ma promień 3 i środek (2, 4). Jeśli okrąg B zostanie przetłumaczony przez <1, 1>, czy nakłada się on na okrąg A? Jeśli nie, jaka jest minimalna odległość między punktami w obu okręgach?

„okręgi pokrywają się”> „musimy tutaj porównać odległość (d)„ ”między środkami do sumy promieni” • „jeśli suma promieni”> d ”, to koła pokrywają się • •„ jeśli suma promienie „<d” wtedy nie pokrywają się ”„ przed obliczeniem d wymagamy znalezienia nowego centrum ”„ B po danym tłumaczeniu ”„ pod tłumaczeniem ”<1,1> (2,4) na (2 + 1, 4 + 1) do (3,5) larrcolor (czerwony) „nowy środek B” „obliczyć d użyj wzoru„ kolor (niebieski) ”„ d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2- y_1) ^ 2) „niech” (x_1, y_1) = (6,5) „i” (x_2, y_2) = (3,5) d = sqrt ((3-6) ^ 2 + (5-5) ^ 2) = sqrt9 = 3 "suma promieni" = 2 + 3 = 5 &quo