Zanieczyszczenie w normalnej atmosferze jest mniejsze niż 0,01%. Z powodu wycieku gazu z fabryki zanieczyszczenie wzrasta do 20%. Jeśli codzienne 80% zanieczyszczenia zostanie zneutralizowane, przez ile dni atmosfera będzie normalna (log_2 = 0,3010)?

Odpowiedź:

#ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4,72 # dni

Wyjaśnienie:

Procent zanieczyszczenia wynosi #20%#i chcemy dowiedzieć się, jak długo to potrwa #0.01%# jeśli zanieczyszczenie zmniejszy się o #80%# codzienny.

Oznacza to, że każdego dnia mnożymy procent zanieczyszczeń przez #0.2# (#100%-80%=20%)#. Jeśli zrobimy to przez dwa dni, będzie to procent pomnożony przez #0.2#, pomnożone przez #0.2# ponownie, co jest tym samym, co mnożenie przez #0.2^2#. Możemy to powiedzieć, jeśli to zrobimy # n # dni, pomnożymy się przez # 0.2 ^ n #.

#0.2# jest pierwotną ilością zanieczyszczeń i #0.0001# (#0.01%# w przecinku) to kwota, do której chcemy dotrzeć. Zastanawiamy się, ile razy musimy pomnożyć przez #0.2# by tam dotrzeć. Możemy to wyrazić w następującym równaniu:

# 0.2 * 0.2 ^ n = 0.0001 #

Aby rozwiązać ten problem, najpierw podzielimy obie strony #0.2#:

# (anuluj0.2 * 0.2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0,2 ^ n = 0,0001 / 0,2 = 0,0005 #

Teraz możemy wziąć logarytm po obu stronach. Który logarytm, którego używamy, nie ma znaczenia, jesteśmy tuż po właściwościach logarytmu. Wybieram logarytm naturalny, ponieważ jest on obecny w większości kalkulatorów.

#ln (0.2 ^ n) = ln (0.0005) #

Od #log_x (a ^ b) = blog_x (a) # możemy przepisać równanie:

#nln (0.2) = ln (0.0005) #

Jeśli podzielimy obie strony, otrzymamy:

# n = ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4,72 #