Dwadzieścia procent klientów dużego salonu fryzjerskiego to kobiety. W losowej próbie 4 klientów, jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 3 klientów jest kobietami?

Odpowiedź:

# 4 cdot (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Wyjaśnienie:

Możemy pokusić się o wymienienie wszystkich możliwych wyników i obliczenie ich prawdopodobieństw: w końcu, jeśli musimy próbkować #3# kobiety #FA# spośród czterech klientów możliwości są

# (F, F, F, M), (F, F, M, F), (F, M, F, F), (M, F, F, F) #

Każdy klient jest kobietą z prawdopodobieństwem #0.2#, a więc mężczyzna z prawdopodobieństwem #0.8#. Tak więc każdy kwadruplet, który właśnie napisaliśmy, ma prawdopodobieństwo

# 0.2 cdot0.2 cdot0.2 cdot0.8 = (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Ponieważ mamy cztery zdarzenia z takim prawdopodobieństwem, odpowiedzią będzie

# 4 cdot (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Ale co jeśli liczby byłyby znacznie większe? Lista wszystkich możliwych zdarzeń szybko stałaby się kamieniem węgielnym. Dlatego mamy modele: ta sytuacja jest opisana przez model bernulliński, co oznacza, że jeśli chcemy osiągnąć # k # sukcesy w # n # eksperymenty z prawdopodobieństwem sukcesu # p #, nasze prawdopodobieństwo jest

#P = ((n), (k)) p ^ k (1-p) ^ {n-k} #

gdzie

# ((n), (k)) = frac {n!} {k! (n-k)!} # i #n! = n (n-1) (n-2) … 3 cdot2 #

W tym przypadku, # n = 4 #, # k = 3 # i # p = 0,2 #, więc

#P = ((4), (3)) 0,2 ^ 3 (0,8) = 4 cdot0,2 ^ 3 (0,8) #