Jak znaleźć liniowe przybliżenie roota (4) (84)?

Odpowiedź:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Wyjaśnienie:

Zauważ, że #3^4 = 81#, który jest blisko #84#.

Więc #root (4) (84) # jest trochę większy niż #3#.

Aby uzyskać lepsze przybliżenie, możemy użyć przybliżenia liniowego, metody a.k.a Newtona.

Definiować:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Następnie:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

i podano przybliżone zero # x = a # z #f (x) #, lepsze przybliżenie to:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Więc w naszym przypadku, stawianie # a = 3 #, lepsze przybliżenie to:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02 bar (7) #

Jest to prawie dokładne #4# znaczące liczby, ale przytoczmy przybliżenie jako #3.03#

Odpowiedź:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Wyjaśnienie:

Zauważ, że przybliżenie liniowe w pobliżu punktu #za# mogą być podane przez:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Jeśli podane: #f (x) = root (4) (x) #

wtedy odpowiedni wybór dla #za# byłoby # a = 81 # ponieważ wiemy #root (4) 81 = 3 # dokładnie i jest blisko #84#.

Więc:

#f (a) = f (81) = root (4) (81) = 3 #

Również;

#f (x) = x ^ (1/4) # więc #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Dlatego możemy przybliżać (blisko #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Więc:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Im dokładniejsza jest wartość #3.02740#

więc przybliżenie liniowe jest dość blisko.

Odpowiedź:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Wyjaśnienie:

Możemy powiedzieć, że mamy funkcję #f (x) = root (4) (x) #

i # root (4) (84) = f (84) #

Teraz znajdźmy pochodną naszej funkcji.

Używamy reguły mocy, która stwierdza, że jeśli #f (x) = x ^ n #, następnie #f '(x) = nx ^ (n-1) # gdzie # n # jest stała.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Teraz, aby przybliżyć # root (4) (84) #, staramy się znaleźć idealną czwartą moc najbliższą 84

Zobaczmy…

#1#

#16#

#81#

#256#

Widzimy to #81# jest naszym najbliższym.

Znajdujemy teraz linię styczną naszej funkcji # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

To jest zbocze, którego szukamy.

Spróbujmy zapisać równanie linii stycznej w formularzu # y = mx + b #

Co to jest # y # równa kiedy # x = 81 #?

Zobaczmy…

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Dlatego mamy teraz:

# 3 = m81 + b # Wiemy, że stok, # m #, jest #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Możemy teraz rozwiązać #b#.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Dlatego równanie linii stycznej jest # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Teraz używamy 84 zamiast # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

W związku z tym, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #