Jeśli promień kuli rośnie z szybkością 4 cm na sekundę, jak szybko wzrasta objętość, gdy średnica wynosi 80 cm?

Odpowiedź:

12 800 cm3s

Wyjaśnienie:

Jest to klasyczny problem dotyczący powiązanych stawek. Idea powiązanych stawek polega na tym, że masz model geometryczny, który się nie zmienia, nawet jeśli liczby się zmieniają.

Na przykład ten kształt pozostanie kulą, nawet jeśli zmienia rozmiar. Relacja między objętością a promieniem gdzie jest

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Tak długo relacja geometryczna nie zmienia się wraz ze wzrostem sfery, więc możemy wyprowadzić ten związek pośrednio i znaleźć nową relację między stopami zmian.

Niejawne rozróżnienie polega na tym, że każda zmienna jest formułowana w formule, a w tym przypadku formułę wyprowadzamy w odniesieniu do czasu.

Więc bierzemy pochodną naszej sfery:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (dV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

Zostaliśmy rzeczywiście oddani # (dr) / (dt) #. Jego # 4 (cm) / s #.

Interesuje nas moment, w którym średnica wynosi 80 cm, czyli kiedy promień będzie 40 cm.

Szybkość wzrostu objętości jest # (dV) / (dt) #, czego szukamy, więc:

# (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (dV) / (dt) = 4pi (40 cm) ^ 2 (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 4pi (1600 cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (dV) / (dt) = 12 800 (cm ^ 3) / s #

Jednostki działają nawet poprawnie, ponieważ powinniśmy otrzymać objętość podzieloną przez czas.

Mam nadzieję że to pomoże.