Odpowiedź:
Wierzchołek # y # to jest punkt #(-1.25, 26.875)#
Wyjaśnienie:
Na parabolę w standardowej formie: # y = ax ^ 2 + bx + c #
wierzchołek jest punktem, w którym #x = (- b) / (2a) #
NB: Ten punkt będzie maksymalny lub minimalny # y # w zależności od znaku #za#
W naszym przykładzie: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "wierzchołek" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Zastępowanie dla # x # w # y #
#y_ "wierzchołek" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
Wierzchołek # y # to jest punkt #(-1.25, 26.875)#
Widzimy ten punkt jako minimum # y # na poniższym wykresie.
wykres {2x ^ 2 + 5x + 30 -43,26, 73,74, -9,2, 49,34}
Aby znaleźć wierzchołek, najłatwiej zrobić (oprócz wykresowania problemu) przekształcenie równania w forma wierzchołka. Aby to zrobić, powinniśmy „uzupełnić kwadrat”
# y = 2x ^ 2 + 5x + 30 #
współczynnik wiodący musi wynosić #1#, więc rozwiąż #2#
# y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) #
Musimy znaleźć wartość, która się zmienia # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 # w doskonały kwadrat.
Aby to zrobić, musimy przyjąć średni termin, #5/2#i podziel go przez #2#. To nam daje #5/4#.
Naszym następnym krokiem jest wyrównanie wyniku: #(5/4)^2#lub #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Teraz mamy naszą brakującą wartość: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # CZEKAĆ Nie możemy po prostu dodać czegoś do problemu! Ale jeśli dodamy coś i od razu odejmujemy, technicznie nie zmieniliśmy równania, ponieważ odejmują się od zera
Tak więc naszym problemem jest naprawdę # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
Przepiszmy to: # x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 6-25 / 16 #
# x ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 # to idealny kwadrat. Przepiszmy to w tej formie: # (x + 5/4) ^ 2 #
Spójrzmy teraz ponownie na nasze równanie: # (x + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
Połączmy podobne terminy: # (x + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Teraz mamy równanie w postaci wierzchołka i stąd łatwo możemy znaleźć wierzchołek
# (x + kolor (czerwony) (5/4)) ^ 2 + kolor (żółty) (71/16) #
# (- kolor (czerwony) (x), kolor (żółty) (y)) #
# (- kolor (czerwony) (5/4), kolor (żółty) (71/16)) #
To wierzchołek.
Aby sprawdzić naszą pracę, narysujmy nasze równanie i zobaczmy wierzchołek
wykres {y = 2x ^ 2 + 5x + 30}
Mieliśmy rację! #-1.25# i #4.4375# są równoważne #-25/16# i #71/16#
