Czym jest ortocentrum trójkąta z narożnikami (4, 7), (8, 2) i (5, 6) #?

Odpowiedź:

Współrzędne ortocentrum #color (czerwony) (O (40, 34) #

Wyjaśnienie:

Nachylenie segmentu linii BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Nachylenie #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Równanie wysokości przechodzącej przez A i prostopadle do BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Równanie (1)

Nachylenie segmentu linii AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Nachylenie wysokości BE prostopadłe do BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Równanie wysokości przechodzącej przez B i prostopadłe do AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Równanie (2)

Rozwiązując równania (1), (2) dochodzimy do współrzędnych ortocentrum O

#x = 40, y = 34 #

Współrzędne ortocentrum #O (40, 34) #

Weryfikacja:

Nachylenie #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Równanie Altitude CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Równanie (3)

Współrzędne ortocentrum #O (40, 34) #

Odpowiedź:

Orthocenter: #(40,34)#

Wyjaśnienie:

Opracowałem przypadek pół-ogólny tutaj (http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -and-2-8)

Wniosek jest ortocentrum trójkąta z wierzchołkami # (a, b), # #(Płyta CD)# i #(0,0)# jest

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Przetestujmy go, stosując go do tego trójkąta i porównując wynik z drugą odpowiedzią.

Najpierw tłumaczymy (5, 6) na początek, dając dwa inne przetłumaczone wierzchołki:

# (a, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

Stosujemy formułę w przetłumaczonej przestrzeni:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4)) = (35,28) #

Teraz tłumaczymy na nasz wynik:

Orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

To pasuje do innej odpowiedzi!