Odpowiedź:
Konwerguje do # 1 + i # (na moim kalkulatorze graficznym Ti-83)
Wyjaśnienie:
Pozwolić # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
Po pierwsze, zakładając, że ta nieskończona seria zbiega się (tzn. Zakładając, że S istnieje i przyjmuje wartość liczby zespolonej), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
A jeśli rozwiążesz S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
i stosując formułę kwadratową otrzymujesz:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frak {2 pm srt {-4}} {2} = frak {2 pm 2i} {2} = 1 pm i #
Zwykle funkcja pierwiastka kwadratowego przyjmuje wartość dodatnią # S = 1 + i #
Tak więc, jeśli zbiegnie się, musi się zbiegać # 1 + i #
Teraz wszystko, co musisz zrobić, to udowodnić, że jest zbieżne lub jeśli jesteś leniwy jak ja, możesz podłączyć # sqrt {-2} # do kalkulatora, który może obsługiwać liczby urojone i używać relacji powtarzania:
# f (1) = srt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Powtórzyłem to wiele razy na moim Ti-83 i stwierdziłem, że zbliża się, na przykład, po powtórzeniu go gdzieś 20 razy.
# 1.000694478 + 1.001394137i #
całkiem dobre przybliżenie
