Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
Anonim

Odpowiedź:

# {: („Punkt krytyczny”, „Wniosek”), ((0,0), „min”), ((-1, -2), „siodło”), ((-1,2), „siodło „), ((-5 / 3,0),„ max ”):} #

Wyjaśnienie:

Teoria identyfikacji ekstremów # z = f (x, y) # jest:

  1. Rozwiąż jednocześnie równania krytyczne

    # (częściowy f) / (częściowy x) = (częściowy f) / (częściowy y) = 0 (to znaczy # z_x = z_y = 0 #)

  2. Oceniać #f_ (x x), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) # w każdym z tych krytycznych punktów. Stąd oceniaj # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # w każdym z tych punktów
  3. Określ naturę ekstrema;

    # {: (Delta> 0, "Jest minimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i maksimum jeśli" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "jest punkt siodłowy"), (Delta = 0, „Konieczna jest dalsza analiza”):} #

Więc mamy:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Znajdźmy pierwsze pochodne cząstkowe:

# (częściowy f) / (częściowy x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (częściowy f) / (częściowy y) = 2xy + 2y #

Nasze równania krytyczne to:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Z drugiego równania mamy:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # do pierwszego równania i dostajemy:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # do pierwszego równania i dostajemy:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

I tak mamy cztery punkty krytyczne ze współrzędnymi;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Spójrzmy teraz na drugie pochodne cząstkowe, abyśmy mogli określić charakter punktów krytycznych:

# (częściowy ^ 2f) / (częściowy x ^ 2) = 12x + 10 #

# (częściowy ^ 2f) / (częściowy y ^ 2) = 2x + 2 #

# (częściowy ^ 2f) / (częściowy x częściowy y) = 2y (= (częściowy ^ 2f) / (częściowy y częściowy x)) #

I musimy obliczyć:

# Delta = (częściowy ^ 2f) / (częściowy x ^ 2) (częściowy ^ 2f) / (częściowy y ^ 2) - ((częściowy ^ 2f) / (częściowy x częściowy y)) ^ 2 #

w każdym punkcie krytycznym. Drugie częściowe wartości pochodne, #Delta#, a wnioski są następujące:

# {: ("Punkt krytyczny", (częściowy ^ 2f) / (częściowy x ^ 2), (częściowy ^ 2f) / (częściowy y ^ 2), (częściowy ^ 2f) / (częściowy x częściowy y), Delta, „Wniosek”), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => „min”), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, „siodło”), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, „siodło”), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => „max”):} #

Możemy zobaczyć te krytyczne punkty, jeśli spojrzymy na wykres 3D: