Która z poniższych ma maksymalną liczbę prawdziwych korzeni?

Odpowiedź:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # z #4# prawdziwe korzenie.

Wyjaśnienie:

Zauważ, że korzenie:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

są podzbiorem unii pierwiastków dwóch równań:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Zauważ, że jeśli jedno z tych dwóch równań ma parę prawdziwych pierwiastków, tak samo robi się drugie, ponieważ mają ten sam wyróżnik:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Pamiętaj, że jeśli #a, b, c # wszystkie mają taki sam znak # ax ^ 2 + b abs (x) + c # zawsze będzie przyjmował wartości tego znaku # x # jest realne. Tak więc w naszych przykładach # a = 1 #, możemy natychmiast zauważyć, że:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

więc nie ma zer.

Spójrzmy na pozostałe trzy równania po kolei:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x w {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => xw {-2, 1}):} #

Próbując każdego z nich, znajdziemy rozwiązania #x w {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x w {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => xw {-1, -2}):} #

Próbując każdy z nich, znajdujemy wszystkie rozwiązania oryginalnego równania, tj. #x w {-2, -1, 1, 2} #

Alternatywna metoda

Zauważ, że prawdziwe korzenie # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (gdzie #c! = 0 #) są pozytywnymi prawdziwymi korzeniami # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Tak więc, aby dowiedzieć się, które z podanych równań ma najbardziej prawdziwe korzenie, jest równoznaczne ze stwierdzeniem, które z odpowiednich zwykłych równań kwadratowych ma najbardziej pozytywne rzeczywiste korzenie.

Równanie kwadratowe z dwoma dodatnimi pierwiastkami rzeczywistymi ma znaki we wzorze #+ - +# lub #- + -#. W naszym przykładzie pierwszy znak jest zawsze pozytywny.

Spośród podanych przykładów tylko drugi i trzeci mają współczynniki we wzorze #+ - +#.

Możemy pominąć drugie równanie # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # ponieważ jego wyróżnik jest ujemny, ale dla trzeciego równania znajdujemy:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

ma dwa pozytywne korzenie, ustępujące #4# korzenie równania # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #