Czym jest ortocentrum trójkąta z wierzchołkami w O (0,0), P (a, b) i Q (c, d) #?

Odpowiedź:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Wyjaśnienie:

Uogólniłem to stare pytanie zamiast zadawać nowe. Zrobiłem to już wcześniej, aby uzyskać odpowiedź na pytanie, czy nic się nie stało, więc kontynuuję serię.

Tak jak poprzednio, kładę jeden wierzchołek na początku, aby spróbować utrzymać algebrę w kontakcie. Arbitralny trójkąt jest łatwo tłumaczony, a wynik łatwo tłumaczony z powrotem.

Ortocentrum jest przecięciem wysokości trójkąta. Jego istnienie opiera się na twierdzeniu, że wysokość trójkąta przecina się w punkcie. Mówimy, że trzy wysokości są równoległy.

Udowodnijmy, że wysokości trójkąta OPQ są równoczesne.

Wektor kierunku OP bocznej jest # P-O = P = (a, b), # co jest po prostu wymyślnym sposobem na określenie nachylenia # b / a # (ale wektor kierunkowy działa również wtedy, gdy # a = 0 #). Otrzymujemy wektor kierunkowy prostopadłego przez zamianę współrzędnych i zanegowanie jednego tutaj # (b, -a). # Prostopadle potwierdza zerowy produkt punktowy:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Równanie parametryczne wysokości od PO do Q jest zatem:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # na serio # t #

Wysokość od OQ do P jest podobnie

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # na serio # u #

Wektor kierunkowy PQ jest # Q-P = (c-a, d-b) #. Prostopadły przez pochodzenie, tj. Wysokość z PQ, jest w ten sposób

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # na serio # v #

Spójrzmy na spotkanie wysokości z OP i PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

To dwa równania w dwóch niewiadomych, # t # i # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Pomnożymy pierwszy przez #za# a drugi przez #b#.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Dodawanie, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Chłodne z produktem kropkowym w liczniku i krzyżem produktu w mianowniku.

Spotkanie jest przypuszczalnym ortocentrum # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Znajdźmy spotkanie wysokości z OQ i PQ. Dzięki symetrii możemy po prostu zamienić się #za# z #do# i #b# z #re#. Wywołamy wynik # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Mamy te dwa skrzyżowania są takie same, # (x ', y') = (x, y), # więc udowodniliśmy, że wysokości są równoczesne. #quad sqrt #

Uzasadniliśmy nazewnictwo wspólnego skrzyżowania ortocentrum i znaleźliśmy jego współrzędne.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #