Krzywa jest definiowana przez parametryczne równanie x = t ^ 2 + t - 1 oraz y = 2t ^ 2 - t + 2 dla wszystkich t. i) pokaż, że A (-1, 5_ leży na krzywej. ii) znajdź dy / dx. iii) znajdź równanie stycznej do krzywej w punkcie. A. ?

Mamy równanie parametryczne # {(x = t ^ 2 + t-1), (y = 2t ^ 2-t + 2):} #.

Pokazać że #(-1,5)# leży na krzywej zdefiniowanej powyżej, musimy pokazać, że jest pewne # t_A # takie, że w # t = t_A #, # x = -1, y = 5 #.

A zatem, # {(- 1 = t_A ^ 2 + t_A-1), (5 = 2t_A ^ 2-t_A + 2):} #. Rozwiązanie górnego równania ujawnia to # t_A = 0 ”lub„ -1 #. Rozwiązanie dna pokazuje to # t_A = 3/2 ”lub„ 1 #.

Potem # t = -1 #, # x = -1, y = 5 #; i dlatego #(-1,5)# leży na krzywej.

Aby znaleźć nachylenie przy #A = (- 1,5) #, najpierw znajdujemy # ("d" y) / ("d" x) #. Według zasady łańcucha # ("d" y) / ("d" x) = ("d" y) / ("d" t) * ("d" t) / ("d" x) = ("d" t) / ("d" t) -:("d" x) / ("d" t) #.

Możemy łatwo rozwiązać # ("d" y) / ("d" t) = 4t-1 # i # („d” x) / („d” t) = 2 t + 1 #. A zatem, # ("d" y) / ("d" x) = (4t-1) / (2t + 1) #.

W punkcie #A = (- 1,5) #, odpowiadające # t # wartosc jest # t_A = -1 #. W związku z tym, # ("d" y) / ("d" x) _ (t = -1) = ((4 * -1) -1) / ((2 * -1) +1) = 5 #.

Aby znaleźć linię styczną do #A = (- 1,5) #, przywołaj punkt-nachylenie formy linii # y-y_0 = m (x-x_0) #. Wiemy to # y_0 = 5, x_0 = -1, m = 5 #.

Zastępowanie tych wartości pokazuje, że # y-5 = 5 (x + 1) #, lub po prostu # y = 5x + 10 #.