Jak określiłbyś równanie koła, które przechodzi przez punkty D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Odpowiedź:

Zastąp każdy punkt równaniu okręgu, opracuj 3 równania i odejmij te, które mają co najmniej 1 wspólną współrzędną (# x # lub # y #).

Odpowiedź to:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Wyjaśnienie:

Równanie koła:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Gdzie #α# #β# są współrzędnymi środka okręgu.

Zastępuj każdy punkt:

Punkt D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Równanie 1)

Punkt E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Równanie 2)

Punkt F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Równanie 3)

Równania odejmowane #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Równania odejmowane #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Teraz to #α# i #β# są znane, zastąp je w dowolnym punkcie (użyjemy punktu #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Zatem równanie okręgu staje się:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Odpowiedź:

Równanie koła jest # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Wyjaśnienie:

Najpierw musimy znaleźć równanie dwóch linii, każda prostopadła do segmentów utworzonych przez parę danych punktów i przechodząca przez środek tej pary punktów.

Ponieważ punkty D i E (# x_D = x_E = -5 #) są w linii równoległej do osi Y (# x = 0 #) oraz punkty E i F (# y_E = y_F = 15 #) są w linii równoległej do osi-X (# y = 0 #) wygodnie jest wybrać te pary punktów.

Równanie linii DE, gdzie # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Równanie linii 1 prostopadłej do DE i przechodzącej przez punkt środkowy #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

linia 1# -> y = 5 #

Równanie linii EF, gdzie # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Równanie linii 2 prostopadłej do EF i przechodzącej przez punkt środkowy #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

linia 2# -> x = 5 #

Łączenie równań linii 1 i 2 (# y = 5 # i # x = 5 #) znajdujemy środek okręgu, punkt C

#C (5,5) #

Odległość między punktem C a dowolnym z podanych punktów jest równa promieniu okręgu

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

We wzorze równania koła:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #