Odpowiedź:
Zobacz wyjaśnienie poniżej
Wyjaśnienie:
Funkcja jest
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Częściowe pochodne są
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Pozwolić # (delf) / (delx) = 0 # i # (delf) / (dely) = 0 #
Następnie, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Macierz Hesji to
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Wyznacznikiem jest
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
W związku z tym, Brak punktów siodłowych.
#D (1,1)> 0 # i # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, istnieje lokalne minimum na #(-3,3)#
Odpowiedź:
Lokalne minimum: #(-3,3)#
Wyjaśnienie:
Grupa punktów, które zawierają zarówno ekstrema, jak i punkty siodłowe, znajduje się, gdy obie # (delf) / (delx) (x, y) # i # (delf) / (dely) (x, y) # są równe zero.
Zarozumiały # x # i # y # są zmiennymi niezależnymi:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Mamy więc dwa jednoczesne równania, które z radością są liniowe:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Od pierwszego:
# y = -2x-3 #
Zastąp w drugim:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Zamień z powrotem na pierwszy:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Jest więc jeden punkt, w którym pierwsze pochodne równomiernie stają się zerem, ekstremum lub siodłem # (x, y) = (- 3,3) #.
Aby wywnioskować, które musimy obliczyć macierz drugich pochodnych, macierz Hesji (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
A zatem
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Wszystkie pochodne drugiego rzędu są jednolicie stałe, niezależnie od wartości # x # i # y #, więc nie musimy specjalnie obliczać wartości dla punktu zainteresowania.
Uwaga: kolejność różnicowania nie ma znaczenia dla funkcji z ciągłymi drugimi pochodnymi (twierdzenie Clairaulta, aplikacja tutaj: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), a więc oczekujemy, że # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, jak widzimy w naszym konkretnym wyniku powyżej.
W przypadku dwóch zmiennych możemy wywnioskować typ punktu z wyznacznika Hesji, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Podano tutaj formę testu do administrowania:
Widzimy, że wyznacznikiem jest #>0#, tak więc jest # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Więc konkludujemy to #(-3,3)#, jedynym punktem zerowej pierwszej pochodnej jest lokalne minimum funkcji.
Jako sprawdzanie poprawności funkcji jednowymiarowej, zwykle zamieszczam jej wykres, ale Sokrratycki nie ma możliwości rysowania powierzchni lub konturów, odpowiednich dla funkcji dwuwymiarowych, o ile widzę. Więc zastąpię dwie funkcje #f (-3, y) # i #f (x, 3) #, które nie charakteryzują całej domeny funkcji dla nas, ale pokażą nam minimum między nimi, które wydaje się zgodne z oczekiwaniami # y = 3 # i # x = -3 #, przyjmując identyczną wartość funkcji # f = -5 # w każdej sprawie.
Tak jak #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
wykres {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}