Odpowiedź:
Pozostała część podziału #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # przez # (x-k) # jest #f (k) #, więc rozwiązuj #f (k) = 9 # wykorzystując racjonalne twierdzenie o rdzeniu i faktoring, aby znaleźć:
#k = 1/2, -2 # lub #-3#
Wyjaśnienie:
Jeśli spróbujesz się podzielić #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # przez # x-k # skończysz z resztą #f (k) #…
Więc jeśli reszta jest #9#, zasadniczo staramy się rozwiązać #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Odejmować #9# z obu stron, aby uzyskać:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Według racjonalnego twierdzenia pierwiastkowego wszelkie racjonalne korzenie tego sześciennego będą miały formę # p / q # w najniższych warunkach, gdzie #p, q w ZZ #, #q! = 0 #, # p # dzielnik terminu stałego #-6# i # q # dzielnik współczynnika #2# wiodącego terminu.
Oznacza to, że możliwe racjonalne korzenie to:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Spróbujmy pierwszego:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
więc #k = 1/2 # jest rootem i # (2k-1) # jest czynnikiem.
Podzielić przez # (2k-1) # znaleźć:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) #
Możliwe rozwiązania to:
#k = 1/2 #, #k = -2 # i #k = -3 #
