Jakie są lokalne ekstrema f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13?

Odpowiedź:

Lokalne maksimum to # 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 #

Lokalne minimum to # 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #

Wyjaśnienie:

Aby znaleźć ekstremum lokalne, możemy użyć pierwszego testu pochodnego. Wiemy, że w ekstremie lokalnym, co najmniej pierwsza pochodna funkcji będzie równa zero. Weźmy więc pierwszą pochodną i ustawmy ją na 0 i rozwiążmy na x.

#f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 #

#f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

# 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

Ta równość może być łatwo rozwiązana za pomocą wzoru kwadratowego. W naszym przypadku, #a = -3 #, #b = 6 # i # c = 10 #

Kwadratowa formuła mówi:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

Jeśli podłączymy nasze wartości do formuły kwadratowej, otrzymamy

#x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 + - sqrt (156) / 6 = 1 + - sqrt (13/3) #

Teraz, gdy mamy wartości x, gdzie są lokalne ekstrema, podłączmy je z powrotem do naszego oryginalnego równania, aby uzyskać:

#f (1 + sqrt (13/3)) = 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 # i

#f (1 - sqrt (13/3)) = 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #