Czym jest pochodna cot ^ 2 (x)?

ODPOWIEDŹ

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #

WYJAŚNIENIE

Aby rozwiązać ten problem, użyłbyś reguły łańcucha. Aby to zrobić, musisz określić, czym jest funkcja „zewnętrzna” i jaka jest funkcja „wewnętrzna” złożona w funkcji zewnętrznej.

W tym przypadku, #cot (x) # jest funkcją „wewnętrzną”, która składa się z części # cot ^ 2 (x) #. Aby spojrzeć na to w inny sposób, oznaczmy # u = łóżeczko (x) # po to aby # u ^ 2 = łóżeczko ^ 2 (x) #. Czy zauważysz, jak działa tutaj funkcja złożona? Funkcja „zewnętrzna” # u ^ 2 # kwadraty wewnętrznej funkcji # u = łóżeczko (x) #. Funkcja zewnętrzna określa, co stało się z funkcją wewnętrzną.

Nie pozwól # u # mylić cię, to tylko po to, by pokazać ci, jak jedna funkcja jest złożona z drugiej. Nawet nie musisz go używać. Kiedy to zrozumiesz, możesz to osiągnąć.

Zasada łańcucha to:

#F '(x) = f' (g (x)) (g '(x)) #

Lub, słowami:

pochodna funkcji zewnętrznej (sama funkcja wewnętrzna!) czasy pochodna funkcji wewnętrznej.

1) Pochodna funkcji zewnętrznej # u ^ 2 = łóżeczko ^ 2 (x) # (z wewnętrzną funkcją pozostawioną samą sobie) jest:

# d / dx u ^ 2 = 2u #

(Opuszczam # u # na razie, ale możesz się poddać # u = łóżeczko (x) # jeśli chcesz podczas wykonywania kroków. Pamiętaj, że są to tylko kroki, rzeczywista pochodna pytania jest pokazana na dole)

2) Pochodna funkcji wewnętrznej:

# d / dx łóżeczko (x) = d / dx 1 / tan (x) = d / dx sin (x) / cos (x) #

Wytrzymać! Musisz tutaj zastosować zasadę ilorazu, chyba że zapamiętałeś pochodną #cot (x) #

# d / dx cos (x) / sin (x) = (- sin ^ 2 (x) -cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = - (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = -1 / (sin ^ 2 (x)) = -csc ^ 2 (x) #

Łącząc dwa etapy poprzez mnożenie, aby uzyskać pochodną:

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #