Jaki jest wektor jednostkowy, który jest prostopadły do płaszczyzny zawierającej (3i + 2j - 3k) i (2i + j + 2k)?

Odpowiedź:

Wektorem jednostkowym jest # = 1 / sqrt194 〈7, -12, -1〉 #

Wyjaśnienie:

Produkt krzyżowy 2 wektorów jest obliczany z wyznacznikiem

# | (veci, vecj, veck), (d, e, f), (g, h, i) | #

gdzie # 〈D, e, f〉 # i # 〈G, h, i〉 # są 2 wektory

Mamy tutaj # veca = 〈3,2, -3〉 # i # vecb = 〈2,1,2〉 #

W związku z tym, # | (veci, vecj, veck), (3,2, -3), (2,1,2) | #

# = veci | (2, -3), (1,2) | -vecj | (3, -3), (2,2) | + veck | (3,2), (2,1) | #

# = veci (2 * 2 + 3 * 1) -vecj (3 * 2 + 3 * 2) + veck (3 * 1-2 * 2) #

# = 〈7, -12, -1〉 = vecc #

Weryfikacja poprzez wykonanie 2 produktów dot

#〈7,-12,-1〉.〈3,2,-3〉=7*3-12*2+1*3=0#

#〈7,-12,-1〉.〈2,1,2〉=7*2-12*1-1*2=0#

Więc, # vecc # jest prostopadły do # veca # i # vecb #

Moduł # vecc # jest

# || vecc || = sqrt (7 ^ 2 + (- 12) ^ 2 + (- 1) ^ 2) = sqrt (49 + 144 + 1) = sqrt194 #

W związku z tym, Wektorem jednostkowym jest

# hatc = 1 / sqrt194 〈7, -12, -1〉 #