Jaki jest wektor jednostkowy prostopadły do płaszczyzny zawierającej (-i + j + k) i (3i + 2j - 3k)?

Odpowiedź:

Są tu dwa wektory jednostkowe, w zależności od kolejności operacji. Oni są # (- 5i + 0j -5k) # i # (5i + 0j 5k) #

Wyjaśnienie:

Kiedy weźmiesz iloczyn krzyżowy dwóch wektorów, obliczasz wektor, który jest prostopadły do pierwszych dwóch. Jednak rozwiązanie # vecAoxvecB # jest zwykle równy i przeciwny pod względem wielkości # vecBoxvecA #.

Jako szybki odświeżacz, produkt krzyżowy # vecAoxvecB # buduje macierz 3x3, która wygląda jak:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

i otrzymujesz każdy termin, przyjmując iloczyn pojęć diagonalnych, przechodzących od lewej do prawej, zaczynając od danej litery wektora jednostkowego (i, j lub k) i odejmując iloczyn pojęć ukośnych od prawej do lewej, zaczynając od ta sama litera wektora jednostkowego:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

W przypadku dwóch rozwiązań:

#vecA = - i + j + k #

# vecB = 3i + 2j-3k #

Spójrzmy na oba rozwiązania:

1. # vecAoxvecB #

Jak stwierdzono powyżej:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#color (czerwony) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

1. # vecBoxvecA #

Odwróć się do pierwszej formuły, weź ponownie przekątne, ale matryca jest uformowana inaczej:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Zauważ, że odejmowanie jest odwrócone. To właśnie powoduje formę „równą i przeciwną”.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# vecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#color (niebieski) (vecBoxvecA = 5i + 0j + 5k #