Oceń całkę nieokreśloną: qsqrt (10x x ^ 2) dx?

Odpowiedź:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Wyjaśnienie:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Ukończ kwadrat, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Zastąpić # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Zastąpić # u = 5sin (v) # i # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Uproszczać, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Oczyścić, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Wyjmij stałą, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Zastosuj wzory podwójnego kąta, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Wyjmij stałą, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Zintegrować, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) ”+ c #

Zastąp z powrotem # v = arcsin (u / 5) # i # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + anuluj (1 / 2sin) (anuluj (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Uproszczać, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Oczyścić, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, gdzie #do# jest stałą integracji.

Tadaa: D

Odpowiedź:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Wyjaśnienie:

Co jest #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Należy zauważyć, że domena zintegrowanej funkcji jest tam, gdzie wewnętrzna kwadratowość jest dodatnia, tj. #x w 0, 10 #

To wyrażenie można zintegrować za pomocą podstawień. Chociaż możliwa droga integracji nie pojawia się natychmiast, jeśli konkurujemy z kwadratem, można przeprowadzić substytucję trygonometryczną:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Zauważamy, że jest to klasyczna trygonometryczna forma podstawienia, tj. Kwadrat liczby minus kwadrat liniowej # x # funkcjonować.

Po pierwsze, aby pozbyć się liniowości, pozwalamy #u = x-5 #, co daje # du = dx #, więc możemy przepisać powyższą całkę jako:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Teraz do drugiej zmiany, niech #u = 5sintheta #, który zmienia integralną część:

#int sqrt (25 - 25in ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (możemy zignorować nawiasy bezwzględne)

Oczywiście # dx # nie pomaga, więc różnicujemy równanie substytucji, aby uzyskać: #du = 5costheta d theta #, więc całka staje się:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Teraz możemy użyć formuły podwójnego kąta, aby zintegrować # cos ^ 2 theta # łatwiej:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Tak więc całka staje się:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (używając formuły z podwójnym kątem)

Teraz, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Stąd, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

I, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #