Jaka jest objętość ciała stałego wytwarzanego przez obracanie f (x) = cotx, x w [pi / 4, pi / 2] wokół osi x?

Odpowiedź:

# V = pi-1 / 4pi ^ 2 #

Wyjaśnienie:

Wzór na znalezienie objętości bryły wytworzonej przez obracanie funkcji #fa# wokół # x #-axis jest

# V = int_a ^ bpi f (x) ^ 2dx #

Więc dla #f (x) = cotx #, objętość jego bryły pomiędzy #pi "/" 4 # i #pi "/" 2 # jest

# V = int_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) pi (cotx) ^ 2dx = piint_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) cot ^ 2xdx = piint_ (pi " / "4) ^ (pi" / "2) csc ^ 2x-1dx = -pi cotx + x _ (pi" / "4) ^ (pi" / "2) = - pi ((0-1) + (pi / 2-pi / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 #

Odpowiedź:

# „Obszar wokół rewolucji” # #x "-axis" = 0,674 #

Wyjaśnienie:

# „Obszar wokół rewolucji” # #x "-axis" = piint_a ^ b (f (x)) ^ 2dx #

#f (x) = cotx #

#f (x) ^ 2 = cotx #

#int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) cot ^ 2xdx = int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) csc ^ 2x-1dx #

#color (biały) (int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) cot ^ 2xdx) = pi -cotx-x _ (pi / 4) ^ (pi / 2) #

#color (biały) (int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) cot ^ 2xdx) = pi (- łóżeczko (pi / 2) -pi / 2) - (- łóżeczko (pi / 4) -pi / 4) #

#color (biały) (int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) cot ^ 2xdx) = pi (- 0-pi / 2) - (- 1-pi / 4) #

#color (biały) (int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) cot ^ 2xdx) = pi -pi / 2 + 1 + pi / 4 #

#color (biały) (int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) łóżeczko ^ 2xdx) = 0,674 #