Okrąg A ma środek (3, 5) i obszar 78 pi. Okrąg B ma środek (1, 2) i obszar 54 pi. Czy kręgi się pokrywają?

Odpowiedź:

tak

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, potrzebujemy odległości między dwoma ośrodkami, czyli # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Teraz potrzebujemy sumy promieni, ponieważ:

#D> (r_1 + r_2); „Kręgi nie nakładają się” #

# D = (r_1 + r_2); „Kręgi po prostu dotknij” #

#D <(r_1 + r_2); „Kręgi nakładają się” #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, więc kręgi się pokrywają.

Dowód:

graph {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Odpowiedź:

Te nakładają się, jeśli #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}.

Możemy pominąć kalkulator i sprawdzić # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # lub #4(13)(54) > 11^2# które z pewnością jest, więc tak, nakładają się.

Wyjaśnienie:

Obszar okręgu jest oczywiście #pi r ^ 2 # więc dzielimy nieodpłatne #Liczba Pi#s.

Mamy promienie kwadratu

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

i kwadratu odległość między centrami

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Zasadniczo chcemy wiedzieć, czy # r_1 + r_2 ge d #, tj. jeśli możemy zrobić trójkąt z dwóch promieni i segmentu między środkami.

Kwadratowe długości są ładnymi liczbami całkowitymi i jest całkiem szalone, że wszyscy instynktownie sięgamy po kalkulator lub komputer i zaczynamy pobierać pierwiastki kwadratowe.

Nie musimy, ale wymaga to trochę objazdu. Użyjmy wzoru Herona, nazwijmy ten obszar # P #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # gdzie # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To już lepsze niż Heron. Ale kontynuujemy. Pominę trochę nudy.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To ładnie symetryczne, jak można by się spodziewać po formule obszaru. Zróbmy to mniej symetrycznie. Odwołanie

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Dodawanie, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

To wzór na kwadrat kwadratu trójkąta, biorąc pod uwagę kwadraty długości boków. Kiedy te ostatnie są racjonalne, tak samo jest z pierwszym.

Wypróbujmy to. Możemy dowolnie przypisać boki, jak nam się podoba; do obliczenia ręki najlepiej zrobić #do# największa strona, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Już przed obliczeniem go widzimy, że mamy pozytywne # 16Q ^ 2 # więc prawdziwy trójkąt z dodatnim obszarem, tak nakładające się koła.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Jeśli otrzymalibyśmy wartość ujemną, wyimaginowany obszar, to nie jest prawdziwy trójkąt, więc nienakładające się koła.