Okrąg A ma środek (6, 5) i obszar 6 pi. Okrąg B ma środek (12, 7) i obszar 48 pi. Czy kręgi się pokrywają?

Odpowiedź:

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # i

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

możemy stworzyć prawdziwy trójkąt o kwadratowych bokach 48, 6 i 40, aby te kręgi się przecinały.

Wyjaśnienie:

Dlaczego nieuzasadnione #Liczba Pi#?

Obszar jest #A = pi r ^ 2 # więc # r ^ 2 = A / pi. # Więc pierwszy okrąg ma promień # r_1 = sqrt {6} # i drugi # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Centra są #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # niezależnie.

Więc kręgi nakładają się, jeśli #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

To takie brzydkie, że wybaczono by ci sięgnięcie po kalkulator. Ale to naprawdę nie jest konieczne. Zróbmy objazd i zobaczmy, jak to się robi za pomocą Rational Trigonometry. Nie chodzi nam tylko o kwadraty długości, zwane czworoboki.

Powiedzmy, że chcemy przetestować, czy trzy kwadranty #ABC# są czworokątami między trzema punktami współliniowymi, tj. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # lub #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # lub #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Napiszemy to jako

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Kwadraty, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Ponownie kwadraty, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Wyszło na to, że

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

jest dyskryminujący dla trójkątów. Właśnie pokazaliśmy, czy #mathcal {A} = 0 # to znaczy, że mamy zdegenerowany trójkąt, uformowane z trzech punktów współliniowych. Jeśli #mathcal {A}> 0 # wtedy mamy prawdziwy trójkąt, każda strona jest mniejsza niż suma pozostałych dwóch. Jeśli #mathcal {A} <0 # nie mamy stron, które spełniają nierówności trójkąta i czasami nazywamy to an wyobrażony trójkąt.

Wróćmy do naszego pytania uzbrojonego w nasz nowy trójkątny wyróżnik #mathcal {A} #. Jeśli koła się przecinają, możemy utworzyć trójkąt z dwóch centrów i przecięcia, tak aby boki miały długości # r_1 #, # r_2 #oraz odległość między ośrodkami #(6,5)# i #(12,7)#. Mamy

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # więc mamy prawdziwy trójkąt, tj. nakładające się koła.

O tak, dla każdego trójkąta #mathcal {A} = 16 (tekst {obszar}) ^ 2. #

Sprawdź: Alfa

Okrąg A ma środek (12, 9) i obszar 25 pi. Okrąg B ma środek (3, 1) i obszar 64 pi. Czy kręgi się pokrywają?

Tak Najpierw musimy znaleźć odległość między środkami dwóch okręgów. Dzieje się tak, ponieważ ta odległość jest tam, gdzie okręgi będą najbliżej siebie, więc jeśli zachodzą na siebie, będzie wzdłuż tej linii. Aby znaleźć tę odległość, możemy użyć wzoru odległości: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Teraz musimy znaleźć promień każdego okręgu. Wiemy, że obszar okręgu jest pir ^ 2, więc możemy go użyć do rozwiązania r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_2) ^ 2 = 64pi (r_2) ^ 2 = 64 r_2 = 8 Na koniec dodajemy te dwa promien

Okrąg A ma środek (3, 5) i obszar 78 pi. Okrąg B ma środek (1, 2) i obszar 54 pi. Czy kręgi się pokrywają?

Tak Po pierwsze, potrzebujemy odległości między dwoma centrami, czyli D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 Teraz potrzebujemy sumy promieni, ponieważ: D> (r_1 + r_2); „Koła nie nakładają się” D = (r_1 + r_2); „Kręgi po prostu dotykają” D <(r_1 + r_2); „Kręgi nakładają się na siebie” pir_1 „” ^ 2 = 78pi r_1 ”„ ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 ”„ ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16,2 16,2> 3,61, więc koła się pokrywają. Dowód: wykres {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0

Okrąg A ma środek (1, 5) i obszar 24 pi. Okrąg B ma środek (8, 4) i obszar 66 pi. Czy kręgi się pokrywają?

Tak, koła się nakładają. Odległość od środka okręgu A do środka okręgu B = 5sqrt2 = 7,071 Suma ich promieni wynosi = sqrt66 + sqrt24 = 13,023 Niech Bóg błogosławi .... Mam nadzieję, że wyjaśnienie jest przydatne ..