Jaka jest maksymalna powierzchnia prostokąta o obwodzie 116 m?

Odpowiedź:

Strefa, #A = 841 "m" ^ 2 #

Wyjaśnienie:

Niech L = długość

Niech W = szerokość

Obwód, #P = 2L + 2W #

Dany: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

Rozwiąż dla W pod względem L:

#W = 58 "m" - L "1" #

Strefa, #A = LW "2" #

Zastąp prawą stronę równania 1 dla W równaniem 2:

#A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

Aby uzyskać wartość L, która maksymalizuje obszar, oblicz jego pierwszą pochodną względem L, ustaw ją na 0, a rozwiązanie na L:

Pierwsza pochodna:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

Ustaw go na 0:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

Użyj równania 1, aby znaleźć wartość W:

#W = 58 "m" - 29 "m" #

#W = 29 "m" #

To pokazuje, że prostokąt, który wytwarza maksymalną powierzchnię, jest kwadratem. Obszar jest:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

Odpowiedź:

# 841m ^ 2 #.

Wyjaśnienie:

Rozwiązamy ten problem za pomocą Metody algebraiczne. Jak

Drugie rozwiązanie, rozwiążemy to za pomocą Rachunek różniczkowy

Pozwolić #l i w # być długością i szerokością prostokąta, odpowiednio.

Następnie obszar prostokąta# = lw. #

Następnie przez to, co jest podane, # 2 (l + w) = 116 lub, (l + w) / 2 = 29 #.

Tutaj używamy następujących Nierówność AGH prawdziwych nosów:

Jeśli A, G i H są Środki arytmetyczne, geometryczne i harmoniczne

z # a, bw RR ^ + uu {0} "odp.," A> = G> = H. #

# „Tutaj”, A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b).

Stąd, # (l + w) / 2> = sqrt (lw) lub lub ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

To znaczy że, # "the Area =" lb <= (29) ^ 2 #

Stąd maksymalny obszar prostokąta# = 841m ^ 2 #.