Jakie są współrzędne punktów zwrotnych y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3?

Odpowiedź:

#(1,1)# i #(1,-1)# są punkty zwrotne.

Wyjaśnienie:

# y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3 #

Używając niejawnego różnicowania,

# 3y ^ 2 razy (dy) / (dx) + 3x razy2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0 #

# (dy) / (dx) (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 #

# (dy) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x)) #

# (dy) / (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) #

Dla punktów zwrotnych # (dy) / (dx) = 0 #

# (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) = 0 #

# x ^ 2-y ^ 2 = 0 #

# (x-y) (x + y) = 0 #

# y = x # lub # y = -x #

Pod # y = x # z powrotem do oryginalnego równania

# x ^ 3 + 3x * x ^ 2-x ^ 3 = 3 #

# 3x ^ 3 = 3 #

# x ^ 3 = 1 #

# x = 1 #

W związku z tym #(1,1)# jest jednym z 2 punktów zwrotnych

Pod # y = -x # z powrotem do oryginalnego równania

# x ^ 3 + 3x * (- x) ^ 2-x ^ 3 = 3 #

# 3x ^ 3 = 3 #

# x ^ 3 = 1 #

# x = 1 #

W związku z tym, #(1,-1)# to drugi punkt zwrotny

#root (3) 3 = 1 #

# -root (3) 3 = -1 #

Więc brakowało ci punktu zwrotnego #(1,-1)#