Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Odpowiedź:

Jest jedno ekstrema #(3,3,27)#

Mamy:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

I tak otrzymujemy pochodne cząstkowe:

# (częściowy f) / (częściowy x) = y - 27 / x ^ 2 i # (częściowy f) / (częściowy y) = x - 27 / y ^ 2 #

W ekstremalnych lub siodłowych punktach mamy:

# (częściowy f) / (częściowy x) = 0 i # (częściowy f) / (częściowy y) = 0 równocześnie:

tj. jednoczesne rozwiązanie:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Odjęcie tych równań daje:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Możemy wyeliminować # x = 0; y = 0 # a więc # x = y # jest jedynym prawidłowym rozwiązaniem, które prowadzi do:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

I z # x = y = 3 #, mamy:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Stąd istnieje tylko jeden punkt krytyczny, który występuje w (3,3,27), który można zobaczyć na tym wykresie (który obejmuje płaszczyznę styczną)