Jak znaleźć obszar równoległoboku z wierzchołkami?

Odpowiedź:

Dla równoległoboku # ABCD # obszar jest

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że nasz równoległobok # ABCD # jest zdefiniowany przez współrzędne czterech wierzchołków - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Aby określić obszar naszego równoległoboku, potrzebujemy długości jego podstawy # | AB | # i wysokość # | DH | # z wierzchołka #RE# wskazać # H # z boku # AB # (to jest, #DH_ | _AB #).

Przede wszystkim, aby uprościć zadanie, przenieśmy je do pozycji, gdy jego wierzchołek #ZA# pokrywa się z pochodzeniem współrzędnych. Obszar będzie taki sam, ale obliczenia będą łatwiejsze.

Wykonamy więc następującą transformację współrzędnych:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

A później (# U, V #) współrzędne wszystkich wierzchołków będą:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Nasz równoległobok jest teraz zdefiniowany przez dwa wektory:

# p = (U_B, V_B) # i # q = (U_D, V_D) #

Określ długość podstawy # AB # jako długość wektora # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Długość wysokości # | DH | # można wyrazić jako # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Długość #OGŁOSZENIE# jest długością wektora # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Kąt #/_ZŁY# można określić za pomocą dwóch wyrażeń dla produktu skalarnego (kropkowego) wektorów # p # i # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

z którego

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Teraz znamy wszystkie składniki do obliczenia powierzchni:

Baza # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Wysokość # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Obszar jest ich produktem:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Pod względem oryginalnych współrzędnych wygląda to tak:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Odpowiedź:

kolejna dyskusja

Wyjaśnienie:

Dowód geometryczny

Biorąc pod uwagę liczbę

możemy łatwo ustalić wzór do obliczania powierzchni równoległoboku ABCD, gdy znane są trzy wierzchołki (powiedzmy A, B, D).

Ponieważ przekątna BD przecina równoległobok w dwa przystające trójkąty.

Obszar równoległoboku ABCD

= 2 obszar trójkąta ABD

= 2 obszar trapezu BAPQ + obszar pułapki BQRD - obszar pułapki DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + anuluj (Y_BX_B) - anuluj (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + anuluj (Y_DX_D) - anuluj (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel (Y_DX_D) + anuluj (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Ta formuła da obszar równoległoboku.

Dowód uwzględniający wektor

Można to również ustalić biorąc pod uwagę #vec (AB) # i# vec (AD) #

Teraz

Wektor położenia punktu A w.r, t początek O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Wektor położenia punktu B w.r, t początek O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Wektor położenia punktu D w.r, t początek O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Teraz

Obszar równoległościanu ABCD

# = Baza (AD) * Wysokość (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Jeszcze raz

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Powierzchnia = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + anuluj (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B |

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B |

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Mamy więc tę samą formułę