Jak oceniasz całkę int (dt) / (t-4) ^ 2 od 1 do 5?

Odpowiedź:

Zastąpić # x = t-4 #

Odpowiedź brzmi: jeśli rzeczywiście zostaniesz poproszony o znalezienie całki:

#-4/3#

Jeśli szukasz miejsca, nie jest to takie proste.

Wyjaśnienie:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Zestaw:

# t-4 = x #

Dlatego różnica:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

I limity:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Teraz zastąp te trzy znalezione wartości:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

UWAGA: NIE PRZECZYTAJ TEGO, JEŚLI NIE MUSISZ SIĘ PODEJMOWAĆ JAK ZNALEŹĆ OBSZAR. Chociaż powinno to faktycznie reprezentować obszar między dwoma limitami i ponieważ jest zawsze dodatnie, powinno być pozytywne. Jednak ta funkcja jest nie ciągły w # x = 4 # więc ta całka nie reprezentuje obszaru, jeśli tego chcesz. To trochę bardziej skomplikowane.

Odpowiedź:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Wyjaśnienie:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Odpowiedź:

W zależności od tego, jak dużo integracji się nauczyłeś, „najlepszą” odpowiedzią będzie: „całka nie jest zdefiniowana” (jeszcze) lub „integralna rozbieżność”

Wyjaśnienie:

Kiedy próbujemy ocenić # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, powinniśmy sprawdzić, czy integracja jest zdefiniowana w przedziale, przez który integrujemy.

# 1 / (x-4) ^ 2 # nie jest zdefiniowany w #4#tak jest nie zdefiniowane w całym przedziale #1,5#.

Na początku badania rachunku różniczkowego, definiujemy całkę, zaczynając od

"Pozwolić #fa# być zdefiniowanym w interwale # a, b #… '

Tak więc na początku naszego badania najlepszą odpowiedzią jest to

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# nie jest zdefiniowany (jeszcze?)

Później rozszerzamy definicję do tak zwanych „niewłaściwych całek”

Obejmują całki w nieograniczonych odstępach czasu (# (- oo, b #, # a, oo) # i # (- oo, oo) #) oraz odstępy, w których integracja ma punkty, w których nie jest zdefiniowana.

Aby (spróbować) ocenić # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, oceniamy dwie niewłaściwe całki # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Zauważ, że integracja wciąż nie jest na nich zdefiniowana Zamknięte interwały.)

Metoda polega na zastąpieniu punktu, w którym integracja jest niezdefiniowana przez zmienną, a następnie przyjęcie limitu, ponieważ ta zmienna zbliża się do liczby.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Znajdźmy najpierw integralną całość:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Szukam limitu jako # brarr4 ^ - #, widzimy, że limit nie istnieje. (Tak jak # brarr4 ^ - #, wartość # -1 / (b-4) # wzrasta bez ograniczeń.)

Dlatego integralność #1,4# nie istnieje, więc całka się kończy #1,5# nie istnieje.

Mówimy, że całka się rozbiega.

Uwaga

Niektórzy powiedzieliby: mamy teraz definicja całki po prostu nie ma liczby spełniającej definicję.