Jak rozwiązać system x ^ 2 + y ^ 2 = 9 i x-3y = 3?

Odpowiedź:

Istnieją dwa rozwiązania tego systemu: punkty #(3,0)# i #(-12/5, -9/5)#.

Wyjaśnienie:

Jest to interesujący system rozwiązywania równań, ponieważ daje więcej niż jedno rozwiązanie na zmienną.

Dlaczego tak się dzieje, możemy teraz przeanalizować. Pierwsze równanie jest standardową formą dla okręgu o promieniu #3#. Drugi jest nieco niechlujnym równaniem dla linii. Oczyszczone, wyglądałoby to tak:

#y = 1/3 x - 1 #

Naturalnie, jeśli weźmiemy pod uwagę, że rozwiązanie tego systemu będzie punktem, w którym linia i koło przecinają się, nie powinniśmy być zaskoczeni, że pojawią się dwa rozwiązania. Jeden, gdy linia wchodzi w okrąg, a drugi, gdy wychodzi. Zobacz ten wykres:

wykres {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Najpierw zaczynamy od manipulowania drugim równaniem:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Możemy wstawić to bezpośrednio do pierwszego równania do rozwiązania # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Oczywiście to równanie ma dwa rozwiązania. Jeden dla #y = 0 # i inny dla # 9 + 5y = 0 # co znaczy #y = -9 / 5 #.

Teraz możemy rozwiązać dla # x # w każdym z nich # y # wartości.

Jeśli # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Jeśli #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Nasze dwa rozwiązania to punkty: #(3,0)# i #(-12/5, -9/5)#. Jeśli spojrzysz na wykres, zobaczysz, że odpowiadają one wyraźnie dwóm punktom, w których linia przecinała okrąg.