Jakie są lokalne ekstrema f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5)?

Odpowiedź:

#f (x) # ma lokalne maksimum przy #approx (0.1032, 15.0510) #

#f (x) # ma lokalne minimum #approx (3,2301, -0,2362) #

Wyjaśnienie:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

Zastosuj regułę produktu.

#f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) #

Zastosuj regułę mocy.

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

Dla ekstremów lokalnych #f '(x) = 0 #

Stąd, # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

Zastosuj formułę kwadratową.

# x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) #

# = (10 + -sqrt (88)) / 6 #

# ok. 3,2301 lub 0,1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

Dla lokalnego maksimum #f '' <0 # w skrajnym punkcie.

Dla lokalnego minimum #f ''> 0 # w skrajnym punkcie.

Testowanie #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

Testowanie #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

Stąd, #f_max approx (0.1032-3) (0.1032 ^ 2-2 * 0.1032-5) #

#approx 15.0510 #

I, #f_min approx (3.2301-3) (3.2301 ^ 2-2 * 3.2301-5) #

#approx -0,2362 #

#:. f (x) # ma lokalne maksimum przy #approx (0.1032, 15.0510) #

#and f (x) # ma lokalne minimum #approx (3,2301, -0,2362) #

Możemy zobaczyć te ekstrema lokalne poprzez powiększenie odpowiednich punktów na wykresie #f (x) # poniżej.

wykres {(x-3) (x ^ 2-2x-5) -29,02, 28,72, -6,2, 22,63}