Jakie są ekstrema globalne i lokalne f (x) = x ^ 3-x ^ 2-x + 1?

Odpowiedź:

Extrema lokalne: #x = -1 / 3 # i #x = 1 #

Globalne ekstrema: #x = + - infty #

Wyjaśnienie:

Ekstrema lokalne, zwane także maksimami i minimami, lub czasami punkty krytyczne, są po prostu tym, co brzmią: kiedy funkcja osiąga krótkie maksimum lub krótkie minimum. Nazywają się lokalny ponieważ gdy szukasz punktów krytycznych, zazwyczaj zależy ci tylko na tym, co oznacza maksymalne środki w bezpośrednim sąsiedztwie punktu.

Znalezienie lokalnych punktów krytycznych jest bardzo proste. Znajdź, kiedy funkcja jest niezmienna, a funkcja jest niezmienna, gdy - zgadłeś - pochodna jest równa zero.

Daje nam proste zastosowanie reguły mocy #f '(x) #, #f '(x) = 3x ^ 2 -2x - 1 #.

Jesteśmy zaniepokojeni, gdy to wyrażenie jest równe zero:

# 0 = 3x ^ 2 - 2x - 1 #

Teraz znaleźliśmy się w równaniu kwadratowym # x #, co powinno być dość łatwe do rozwiązania.

Istnieją rzeczywiście dwa rozwiązania o wartościach rzeczywistych tego kwadratu, podane przez formułę kwadratową lub wybraną przez ciebie metodę i są one #x = -1 / 3 # i #x = 1 #.

Ustaliliśmy więc, że istnieją dwa ekstrema lokalne, jak również ich lokalizacje. Klasyfikacja tego, czy każdy punkt jest maksymalny czy minimalny, to inna historia i nie będę tutaj tego czytał, ale mogę cię tutaj skierować, jeśli chcesz coś przeczytać.

A teraz do ekstremum globalnego. Ekstremum globalne definiuje się jako pojedynczy maksymalny lub pojedynczy minimalny punkt funkcji na a cały interwał. Zwykle podany jest przedział, taki jak „znajdź globalny ekstrema takiego i takiego w przedziale #0,3#, „ale może to być również cała domena funkcji.

W przypadku ekstremów globalnych trzeba wziąć pod uwagę więcej niż tylko pochodną. Musiałbyś ustalić, czy w tym przedziale są jakieś punkty krytyczne, ponieważ jeśli tak, to może być (ale niekoniecznie) także ekstremum globalnym. W takich sytuacjach najbardziej pomocne jest posiadanie wykresu kalkulatora, ale mała analiza ujawnia punkty krytyczne. (Mogę skierować Cię na tę stronę, aby uzyskać więcej informacji i kilka przykładów)

W tym przypadku funkcja nadal staje się naprawdę, bardzo duża # x-> infty #i zbliża się do # -infty # tak jak #x -> - infty #. Tak więc tak naprawdę nie ma globalnego maksimum lub minimum - są tylko dwa lokalne punkty krytyczne.