Załóżmy, że masz 200 stóp ogrodzenia, aby otoczyć prostokątną działkę.Jak określić wymiary wykresu, aby ująć maksymalny możliwy obszar?

Odpowiedź:

Długość i szerokość powinny być #50# stopy dla maksymalnej powierzchni.

Wyjaśnienie:

Maksymalny obszar dla prostokątnej figury (o stałym obwodzie) osiąga się, gdy figura jest kwadratem. Oznacza to, że każdy z 4 boków ma tę samą długość i # (200 "stóp") / 4 = 50 "stóp" #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Załóżmy, że nie wiedzieliśmy lub nie pamiętaliśmy tego faktu:

Jeśli pozwolimy na długość #za#

i szerokość #b#

następnie

#color (biały) („XXX”) 2a + 2b = 200 # (stopy)

#color (biały) ("XXX") rarr a + b = 100 #

lub

#color (biały) („XXX”) b = 100-a #

Pozwolić #fa)# być funkcją dla powierzchni działki na długość #za#

następnie

#color (biały) ("XXX") f (a) = axxb = axx (100-a) = 100a-a ^ 2 #

Jest to prosta kwadratowa z maksymalną wartością w punkcie, w którym jej pochodna jest równa #0#

#color (biały) ("XXX") f '(a) = 100-2a #

a zatem przy maksymalnej wartości

#color (biały) („XXX”) 100-2a = 0 #

#color (biały) ("XXX") rarr a = 50 #

i od tego czasu # b = 100-a #

#color (biały) ("XXX") rarr b = 50 #

Jaki jest największy możliwy obszar, który Lemuel mógłby objąć płotem, jeśli chce otoczyć prostokątną działkę ogrodzeniem o długości 24 stóp?

Największy możliwy obszar to 36 stóp kwadratowych z bokami x = y = 6 stóp Niech boki prostokąta będą x i y Obwód prostokąta to P = 2 (x + y) = 24 lub P = (x + y) = 12 :. y = 12-x Obszar prostokąta to A = x * y = x (12-x) lub A = -x ^ 2 + 12x = - (x ^ 2-12x) lub A = - (x ^ 2-12x) +36) +36 lub A = - (x-6) ^ 2 + 36. kwadrat to ilość nieujemna. Dlatego maksymalizację minimum należy odjąć od 36; :. (x-6) ^ 2 = 0 lub x-6 = 0 :. x = 6 :. A = 36 Tak największy możliwy obszar to 36 stóp kwadratowych z bokami x = y = 6 [Ans]

Czterysta metrów ogrodzenia jest wymagane, aby otoczyć kwadratowe pole. Jaki obszar może być otoczony taką samą długością ogrodzenia, jeśli obudowa jest okrągła?

= 40000 / pi m ^ 2 ~~ 12732.395 m ^ 2 Długość ogrodzenia wynosi 400m. Musimy więc znaleźć obszar okręgu o obwodzie ~ 400m. Zauważ, że z powodu transcendentalnej natury pi nie można obliczyć dokładnej wartości. 2pir = 400 oznacza r = 200 / pi Obszar okręgu równa się pir ^ 2 = pi (200 / pi) ^ 2 = pi (40000) / pi ^ 2 = 40000 / pi m ^ 2 ~~ 12732.395 m ^ 2

Masz 76 stóp ogrodzenia, aby ogrodzić obszar na podwórku. Obszar musi mieć narożniki pod kątem prostym. Możesz użyć boku domu o długości 85 stóp. Jakie są największe ogrodzenia?

Maksymalna powierzchnia = 722 stóp kwadratowych Pracujemy z prostokątem. Jedna strona może mieć długość 85 stóp, ale jest dłuższa niż cała dostępna długość ogrodzenia, więc oczywiście użyjemy tylko części ściany, a ogrodzenie zostanie użyte dla trzech boków prostokąta. Niech jedna strona będzie x. Pozostałe boki to x i (76-2x) Powierzchnia = lxx b = x (76-2x) Powierzchnia = 76x - 2x ^ 2 (dA) / (dx) = 76 - 4x kolor (biały) (xxxxxx) dla a max (dA) / (dx) = 0 76 - 4x = 0 76 = 4x x = 19 Wymiary mają zatem 38 stóp na 19 stóp, co daje powierzchnię 722 stóp kwadratowych