Jaka jest domena i zakres f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Odpowiedź:

Domena: cała prawdziwa linia

Zasięg: #-0.0757,0.826#

Wyjaśnienie:

To pytanie można interpretować na dwa sposoby. Albo oczekujemy, że poradzimy sobie z prawdziwą linią # RR #lub też z resztą złożonej płaszczyzny # CC #. Sposób użycia # x # jako zmienna sugeruje, że mamy do czynienia tylko z rzeczywistą linią, ale istnieje interesująca różnica między dwoma przypadkami, które zauważę.

Domena #fa# to cały zestaw liczbowy uważany za minus wszystkie punkty, które powodują, że funkcja wysadza w nieskończoność. Dzieje się tak, gdy mianownik # x ^ 2 + 4 = 0 #, tj. kiedy # x ^ 2 = -4 #. To równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań, więc jeśli pracujemy na linii rzeczywistej, domena jest całym interwałem # (- oo, + oo) #. Jeśli weźmiemy pod uwagę nieskończone granice funkcji, porównując wiodące terminy w liczniku i mianowniku, widzimy, że w obu nieskończoności dąży do zera, a więc możemy, jeśli chcemy dodać je do tego przedziału, aby je zamknąć: # - oo, + oo #.

Równanie # x ^ 2 = -4 # ma jednak dwa złożone rozwiązania #x = + - 2i #. Jeśli weźmiemy pod uwagę całą płaszczyznę zespoloną, to domena jest całą płaszczyzną minus te dwa punkty: # CC # # {+ - 2i} #. Podobnie jak w przypadku reali, możemy dodawać w nieskończoność podobnie, jeśli chcemy.

Aby określić zakres #fa# musimy odkryć jego maksymalne i minimalne wartości w swojej domenie. Będziemy teraz mówić tylko w kategoriach rzeczywistych, ponieważ określenie analogu do nich na płaszczyźnie zespolonej jest na ogół innym rodzajem problemu wymagającym różnych narzędzi matematycznych.

Weź pierwszą pochodną za pomocą reguły ilorazu:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Funkcja #fa# osiąga ekstremum lub punkt przegięcia, gdy #f '(x) = 0 #, tj. kiedy # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Rozwiązujemy to za pomocą wzoru kwadratowego:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Funkcja ma dwa takie punkty.

Charakteryzujemy te punkty, badając ich wartości w drugiej pochodnej #fa#, które bierzemy ponownie za pomocą reguły ilorazu:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Wiemy z naszego pierwszego obliczenia korzenia pochodnego, że drugi termin w liczniku wynosi zero dla tych dwóch punktów, ponieważ ustawienie tego na zero jest równaniem, które właśnie rozwiązaliśmy, aby znaleźć liczby wejściowe.

Więc zauważając to # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (bar (+) 2sqrt (13) (26 bar (+) 6sqrt (13))) / (26 bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Określając znak tego wyrażenia, pytamy, czy # 26> 6sqrt (13) #. Porównaj obie strony, aby porównać: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Więc # 26-6sqrt (13) # jest pozytywny (i # 26 + 6sqrt (13) # Nawet trochę więcej).

Znak całego wyrażenia sprowadza się do #bar (+) # przed nim, co oznacza # x = -3-sqrt (13) # ma #f '' (x)> 0 # (i dlatego jest minimum funkcji) i # x = -3 + sqrt (13) # ma #f '' (x) <0 # (i dlatego jest funkcją maksimum). Zauważając, że funkcja ma tendencję do zerowania w nieskończoności, teraz w pełni rozumiemy kształt funkcji.

Aby teraz uzyskać zakres, musimy obliczyć wartości funkcji w punktach minimalnych i maksymalnych # x = -3 + -sqrt (13) #

Odwołaj to #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, a więc

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26 bar (+) 6sqrt (13)) #.

Tak więc w prawdziwej linii # RR # funkcja #f (x) # przyjmuje wartości z zakresu # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, które, jeśli oceniamy liczbowo, przychodzi #-0.0757,0.826#, do trzech znaczących liczb, uzyskanych w # x # wartości #-6.61# i #0.606# (3 s.f.)

Wykreśl wykres funkcji jako sprawdzenia poprawności:

wykres {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4,816, -0,2, 1}

Odpowiedź:

Domena: #x w RR #

Zasięg: #f (x) w -0.075693909, + 0.825693909 kolor (biały) ("xxx") # (w przybliżeniu)

Wyjaśnienie:

Dany

#color (biały) („XXX”) f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domena

The domena są wszystkie wartości # x # dla którego #f (x) # definiuje.

Dla każdej funkcji wyrażonej jako wielomian podzielony przez wielomian, funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich wartości # x # gdzie wielomian dzielnika nie jest równy zero. Od # x ^ 2> = 0 # dla wszystkich wartości # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # dla wszystkich wartości # x #; to jest #x! = 0 # dla wszystkich wartości # x #; funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich Real (# RR #) wartości # x #.

Zasięg

The zasięg jest trochę bardziej interesujący w rozwoju.

Zauważamy, że jeśli funkcja ciągła ma ograniczenia, pochodna funkcji w punktach powodujących te ograniczenia jest równa zero.

Chociaż niektóre z tych kroków mogą być trywialne, będziemy pracować nad tym procesem z dość podstawowych zasad dotyczących pochodnych.

1 Reguła wykładnika dla instrumentów pochodnych

Jeśli #f (x) = x ^ n # następnie # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Zasada sumy dla instrumentów pochodnych

Jeśli #f (x) = r (x) + s (x) # następnie # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Reguła produktu dla instrumentów pochodnych

Jeśli #f (x) = g (x) * h (x) # następnie # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Łańcuchowa reguła dla instrumentów pochodnych

Jeśli #f (x) = p (q (x)) # następnie # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Dla danej funkcji #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

zauważamy, że można to zapisać jako #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Według 3 wiemy

#color (biały) („XXX”) kolor (czerwony) ((df (x)) / (dx)) = kolor (limonka) ((d (x + 3)) / (dx)) * kolor (niebieski) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + kolor (niebieski) ((x + 3)) * kolor (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Według 1 mamy

#color (biały) („XXX”) (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

i przez 2

#color (biały) („XXX”) kolor (limonka) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = kolor (limonka) (1) #

Do 4 mamy

#color (biały) („XXX”) kolor (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

i przez 1 i 2

#color (biały) („XXXXXXXX”) = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

lub, uproszczony:

#color (biały) („XXXXXXXX”) = kolor (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

dając nam

#color (biały) („XXX”) kolor (czerwony) ((df (x)) / (dx)) = kolor (zielony) 1 * kolor (niebieski) ((x + 4) ^ (- 1)) + kolor (niebieski) ((x + 3)) * kolor (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

które można uprościć jako

#color (biały) („XXX”) kolor (czerwony) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Jak zauważono (wstecz) oznacza to, że wartości graniczne wystąpią, gdy

#color (biały) („XXX”) (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (biały) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

następnie za pomocą wzoru kwadratowego (spójrz w górę, Sokratejczyk już narzeka na długość tej odpowiedzi)

gdy

#color (biały) („XXX”) x = -3 + -sqrt (13) #

Zamiast przedłużać agonię, po prostu podłączymy te wartości do naszego kalkulatora (lub arkusza kalkulacyjnego, w jaki sposób to robię), aby uzyskać limity:

#color (biały) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

i

#color (biały) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Odpowiedź:

Prostszy sposób na znalezienie zakresu. Domena to #x w RR #. Zakres to #y w -0,076, 0,826 #

Wyjaśnienie:

Domena to #x w RR # tak jak

#AA x w RR #, mianownik # x ^ 2 + 4> 0 #

Pozwolić # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Krzyż pomnożyć

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Jest to równanie kwadratowe w # x #

Istnieją rozwiązania, jeśli wyróżnik #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

W związku z tym, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Rozwiązaniami tej nierówności są

# y w (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y in (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y w -0,076, 0,826 #

wykres {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6,774, 3,09, -1,912, 3,016}