Znajdź maksima i minima f (x) = 5sinx + 5cosx w przedziale [0,2pi]?

Znajdź maksima i minima f (x) = 5sinx + 5cosx w przedziale [0,2pi]?
Anonim

Odpowiedź:

Jest

  • lokalne maksimum przy # (pi / 2, 5) # i
  • lokalne minimum na # ((3pi) / 2, -5) #

Wyjaśnienie:

#color (darkblue) (sin (pi / 4)) = color (darkblue) (cos (pi / 4)) = color (darkblue) (1) #

#f (x) = 5sinx + 5cosx #

#color (biały) (f (x)) = 5 (kolor (ciemny niebieski) (1) * sinx + kolor (ciemny niebieski) (1) * cosx) #

#color (biały) (f (x)) = 5 (kolor (ciemny niebieski) (cos (pi / 4)) * sinx + kolor (ciemny niebieski) (sin (pi / 4)) * cosx) #

Zastosuj tożsamość kąta złożonego dla funkcji sinus

#sin (alpha + beta) = sin alpha * cos beta + cos alpha * sin beta #

#color (czarny) (f (x)) = 5 * sin (pi / 4 + x) #

Pozwolić # x # być # x- #współrzędna lokalnego ekstremum tej funkcji.

# 5 * cos (pi / 4 + x) = f '(x) = 0 #

# pi / 4 + x = pi / 2 + k * pi # gdzie # k # Liczba całkowita.

# x = -pi / 2 + k * pi #

#x w {pi / 2, (3pi) / 2} #

  • #f (pi / 2) = 5 * sin (pi / 2) = 5 #,

    stąd jest lokalne maksimum przy # (pi / 2, 5) #

  • #f (pi / 2) = 5 * sin ((3pi) / 2) = - 5 #,

    stąd jest lokalne minimum # (pi / 2, -5) #