Znajdź zakres funkcji f (x) = (1+ x ^ 2) / x ^ 2?

Odpowiedź:

#f (A) = (1, + oo) #

Wyjaśnienie:

#f (x) = (x ^ 2 + 1) / x ^ 2 #, #A = (- oo, 0) uu (0, + oo) #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 1)' x ^ 2- (x ^ 2) '(x ^ 2 + 1)) / x ^ 4 = #

# (2x ^ 3-2x ^ 3-2x) / x ^ 4 = #

# -2 / x ^ 3 #

Dla #x> 0 # mamy #f '(x) <0 # więc #fa# jest coraz mniejszy # (0, + oo) #

Dla #x <0 # mamy #f '(x)> 0 # więc #fa# jest coraz większy # (- oo, 0) #

# A_1 = (- oo, 0) #, # A_2 = (0, + oo) #

#lim_ (xrarr0 ^ (-)) f (x) = lim_ (xrarr0 ^ (-)) (x ^ 2 + 1) / x ^ 2 = + oo #

#lim_ (xrarr0 ^ (+)) f (x) = lim_ (xrarr0 ^ (+)) (x ^ 2 + 1) / x ^ 2 = + oo #

#lim_ (xrarr-oo) f (x) = lim_ (xrarr-oo) (x ^ 2 + 1) / x ^ 2 = lim_ (xrarr-oo) x ^ 2 / x ^ 2 = 1 #

#lim_ (xrarr + oo) f (x) = lim_ (xrarr + oo) (x ^ 2 + 1) / x ^ 2 = 1 #

#f (A_1) = f (((- oo, 0))) = (lim_ (xrarr-oo) f (x), lim_ (xrarr0 ^ (-)) f (x)) = #

# (1, + oo) #

#f (A_2) = f (((0, + oo))) = (lim_ (xrarr + oo) f (x), lim_ (xrarr0 ^ +) f (x)) = (1, + oo) #

Zasięg # = f (A) = f (A_1) uuf (A_2) = (1, + oo) #