Jaka jest domena i zakres f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Odpowiedź:

Domena to # RR # (wszystkie liczby rzeczywiste), a zasięg to # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(wszystkie liczby rzeczywiste między i włącznie # (5-sqrt (61)) / 72 # i # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Wyjaśnienie:

W domenie zaczynamy od wszystkich liczb rzeczywistych, a następnie usuwamy wszystkie, które zmusiłyby nas do posiadania pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej lub #0# w mianowniku ułamka.

Na pierwszy rzut oka wiemy to jako # x ^ 2> = 0 # dla wszystkich liczb rzeczywistych, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Tak więc mianownik nie będzie #0# dla dowolnej liczby rzeczywistej # x #, co oznacza, że domena zawiera każdą liczbę rzeczywistą.

Dla zakresu najłatwiejszym sposobem znalezienia powyższych wartości jest kilka podstawowych rachunków. Chociaż jest to dłuższe, możliwe jest również znalezienie ich przy użyciu tylko algebry, jednak zgodnie z metodą opisaną poniżej.

Począwszy od funkcji #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # chcemy znaleźć wszystkie możliwe wartości #f (x) #. Jest to równoznaczne ze znalezieniem domeny funkcji odwrotnej # f ^ -1 (x) # (funkcja z własnością # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Niestety odwrotność #f (x) # w tym przypadku nie jest funkcją, ponieważ zwraca 2 wartości, jednak idea jest wciąż taka sama. Zaczniemy od równania #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # i rozwiąż dla # x # znaleźć odwrotność. Następnie przyjrzymy się możliwym wartościom # y # znaleźć domenę odwrotności, a tym samym zakres pierwotnej funkcji.

Rozwiązanie dla # x #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Leczenie # y # jako stałą stosujemy formułę kwadratową

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

pozyskać

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Teraz musimy znaleźć domenę powyższego wyrażenia (zwróć uwagę, że nie jest to funkcja ze względu na #+-#). Zauważ, że dzieląc przez # y # w formule kwadratowej straciliśmy możliwość # y = 0 #, co jest wyraźnie możliwe w oryginalnym równaniu (dla #x = -5 #). W ten sposób lekceważymy # y # w mianowniku odwrotności i skupić się tylko na pierwiastku kwadratowym.

Jak wspomniano wcześniej, nie dopuszczamy pierwiastka kwadratowego o wartości mniejszej niż 0, więc mamy ograniczenie

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Używając wzoru kwadratowego # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # znajdujemy, po pewnym uproszczeniu, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Wreszcie możemy powiedzieć, że tak # | y | # rośnie duży, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # będzie mniejsza niż #0#. Dlatego rozważamy tylko odstęp między

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # i #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Więc dozwolone wartości dla # y #, a więc zasięg #f (x) #, jest

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #