Odpowiedź:
Brak rozwiązań # RR #.
Wyjaśnienie:
Po pierwsze, uprośćmy trochę:
Tak jak # e ^ x # i #ln (x) # są funkcjami odwrotnymi, # e ^ ln (x) = x # trzyma jak i #ln (e ^ x) = x #. Oznacza to, że możesz uprościć swój trzeci termin logarytmiczny:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Twoim następnym celem jest sprowadzenie wszystkich #log# funkcje do tej samej bazy, dzięki czemu masz szansę użyć reguł logarytmu i uprościć je.
Możesz zmienić podstawę logarytmu w następujący sposób:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Użyjmy tej reguły, aby zmienić bazę #8# z # log_8 # i podstawa #32# z # log_32 # do bazy #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Teraz możemy obliczyć # log_2 (8) = 3 # i # log_2 (32) = 5 #
(na wypadek, gdyby nie było jasne, pozwól mi to rozbić, żeby mieć pewność: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
To prowadzi nas do następującego, prostszego, logarytmicznego równania:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… pomnóż obie strony #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Teraz jesteśmy gotowi do użycia reguł logarytmu:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # i #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Celem jest posiadanie tylko jednego #log# termin po lewej stronie. Zróbmy to.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
W tym momencie możemy pozbyć się # log_2 (a) # stosując funkcję odwrotną # 2 ^ a # po obu stronach równania.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Niestety muszę przyznać, że utknąłem w tym momencie, ponieważ nie wiem, jak rozwiązać to równanie.
Jednak spiskowanie #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # mówi mi, że to równanie nie ma rozwiązania # RR #.
wykres {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9,63, 10,37, -4,88, 5.12}
Mam nadzieję, że to trochę pomogło!
