Jak znaleźć reprezentację serii mocy dla (arctan (x)) / (x) i jaki jest promień zbieżności?

Odpowiedź:

Zintegruj szereg mocy pochodnej #arctan (x) # następnie podziel przez # x #.

Wyjaśnienie:

Znamy reprezentację serii mocy # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # takie #absx <1 #. Więc # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Więc seria mocy #arctan (x) # jest #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Dzielisz to przez # x #, dowiadujesz się, że seria mocy #arctan (x) / x # jest #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Powiedzmy #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Aby znaleźć promień zbieżności tej serii mocy, oceniamy #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Więc jeśli chcemy, aby seria mocy była zbieżna, potrzebujemy #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, więc seria zbiegnie się, jeśli #absx <1 #, co nie jest zaskakujące, ponieważ jest to promień zbieżności reprezentacji serii mocy #arctan (x) #.

Promień większego okręgu jest dwa razy dłuższy niż promień mniejszego okręgu. Powierzchnia pączka wynosi 75 pi. Znajdź promień mniejszego (wewnętrznego) okręgu.

Mniejszy promień wynosi 5 Niech r = promień wewnętrznego okręgu. Następnie promień większego okręgu wynosi 2r. Z odniesienia otrzymujemy równanie dla powierzchni pierścienia: A = pi (R ^ 2-r ^ 2) Zastępca 2r dla R: A = pi ((2r) ^ 2- r ^ 2) Uprość: A = pi ((4r ^ 2 r ^ 2) A = 3 pir ^ 2 Zastąp na danym obszarze: 75 ppi = 3 pery ^ 2 Podziel obie strony na 3 ppi: 25 = r ^ 2 r = 5

Jaki jest promień zbieżności dla tej serii mocy? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k ale sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Teraz rozważając abs z <1 mamy sumę_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) i int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) teraz dokonujący podstawienia z -> - z mamy -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z), więc jest zbieżny dla abs z <1

Jak znaleźć pierwsze trzy terminy serii Maclaurina dla f (t) = (e ^ t - 1) / t przy użyciu serii Maclaurin e ^ x?

Wiemy, że seria Maclaurina e ^ x jest sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Możemy również uzyskać tę serię za pomocą rozszerzenia Maclaurina f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) oraz fakt, że wszystkie pochodne e ^ x są nadal e ^ x i e ^ 0 = 1. Teraz wystarczy zastąpić powyższą serię na (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + suma (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Jeśli chcesz, aby indeks zaczynał się od i = 0, po prostu zastąp n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Teraz po prostu oceń pierwsze