Jaki jest promień zbieżności dla tej serii mocy? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Odpowiedź:

#abs z <1 #

Wyjaśnienie:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k #

ale

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. Teraz rozważam #abs z <1 # mamy

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # i

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

teraz dokonywanie zamiany #z -> - z # mamy

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

więc jest zbieżny #abs z <1 #

Wysokość cylindra kołowego o danej objętości zmienia się odwrotnie, jak kwadrat promienia podstawy. Ile razy większy jest promień cylindra o wysokości 3 m niż promień cylindra o wysokości 6 m przy tej samej objętości?

Promień cylindra o wysokości 3 m jest sqrt2 razy większy niż cylindra o wysokości 6 m. Niech h_1 = 3 m będzie wysokością, a r_1 będzie promieniem pierwszego cylindra. Niech h_2 = 6m będzie wysokością, a r_2 będzie promieniem drugiego cylindra. Objętość cylindrów jest taka sama. h prop 1 / r ^ 2:. h = k * 1 / r ^ 2 lub h * r ^ 2 = k:. h_1 * r_1 ^ 2 = h_2 * r_2 ^ 2 3 * r_1 ^ 2 = 6 * r_2 ^ 2 lub (r_1 / r_2) ^ 2 = 2 lub r_1 / r_2 = sqrt2 lub r_1 = sqrt2 * r_2 Promień cylindra 3 m wysoka jest sqrt2 razy większa niż 6 m wysokości cylindra [Ans]

Promień większego okręgu jest dwa razy dłuższy niż promień mniejszego okręgu. Powierzchnia pączka wynosi 75 pi. Znajdź promień mniejszego (wewnętrznego) okręgu.

Mniejszy promień wynosi 5 Niech r = promień wewnętrznego okręgu. Następnie promień większego okręgu wynosi 2r. Z odniesienia otrzymujemy równanie dla powierzchni pierścienia: A = pi (R ^ 2-r ^ 2) Zastępca 2r dla R: A = pi ((2r) ^ 2- r ^ 2) Uprość: A = pi ((4r ^ 2 r ^ 2) A = 3 pir ^ 2 Zastąp na danym obszarze: 75 ppi = 3 pery ^ 2 Podziel obie strony na 3 ppi: 25 = r ^ 2 r = 5

Jak znaleźć reprezentację serii mocy dla (arctan (x)) / (x) i jaki jest promień zbieżności?

Zintegruj szereg mocy pochodnej arctan (x), a następnie podziel przez x. Znamy reprezentację serii mocy 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx taką, że absx <1. Więc 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n). Tak więc szereg mocy arctan (x) wynosi intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1).Dzielisz go przez x, dowiadujesz się, że szereg mocy arctan (x) / x to sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n). Powiedzmy, że u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) Aby znaleźć promień zbieżności tej serii mocy, oceniamy lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n. (u_ (