Odpowiedź:
# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #
Wyjaśnienie:
Pół-łatwym sposobem zobaczenia tego jest rozpoczęcie dzielenia wyrażenia za pomocą Long Division. Napisz dywidendę (pod symbolem podziału) z zerami jako
# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #
Nie będziemy potrzebować wszystkich terminów, aby zauważyć wzór.
Gdy zaczniesz dzielić, zauważysz, że pierwszy termin ma współczynnik 1, drugi ma współczynnik 3, trzeci ma współczynnik 7, następnie 15, a następnie 31 itd.
Te liczby mają formę # 2 ^ m - 1 #.
Reszta pojawi się po tym, jak podzielisz się na całość, składającą się z # 2011 ^ (th) # i # 2012 ^ (th) # warunki.
Pierwszy termin w ilorazie będzie zgodny z tym samym wzorcem #2^2011-1# jako jego współczynnik. Ostatni współczynnik jest o jeden mniejszy niż #2^2011-1# -- to jest #2^2011 - 2#lub #2(2^2010 - 1)#.
Ten sam wzór jest prawdziwy dla każdego podziału formy
# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, gdzie #m> = 3 #.
Możesz to również zauważyć # x ^ 2011 - 1 # jest wielokrotnością #x - 1 #, co anulowałoby czynnik w mianowniku.
Odpowiedź:
Zobacz poniżej.
Wyjaśnienie:
# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #
gdzie #Q (x) # jest #2009# stopień wielomianu i # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #
Teraz wiemy
# 1 ^ 2011 = a + b #
# 2 ^ 2011 = 2a + b #
Rozwiązanie dla # a, b # otrzymujemy
#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # i wtedy
#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # która jest reszta.
