Odpowiedź:
# x ^ 3-3x + 6 # ma ekstrema lokalne w # x = -1 # i # x = 1 #
Wyjaśnienie:
Lokalne ekstremum funkcji występuje w punktach, w których znajduje się pierwsza pochodna funkcji #0# i znak pierwszych zmian pochodnych.
To znaczy # x # gdzie #f '(x) = 0 # i albo #f '(x-varepsilon) <= 0 i f' (x + varepsilon)> = 0 # (lokalne minimum) lub
#f '(x-varepsilon)> = 0 i f' (x + varepsilon) <= 0 # (maksimum lokalne)
Aby znaleźć ekstrema lokalne, musimy znaleźć punkty, w których #f '(x) = 0 #.
#f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) #
więc
#f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + - 1 #
Patrząc na znak #fa'# dostajemy
# {(f '(x)> 0 jeśli x <-1), (f' (x) <0 jeśli -1 <x <1), (f '(x)> 0 jeśli x> 1):} #
Więc znak #fa'# zmiany w każdym z nich #x = -1 # i #x = 1 # co oznacza, że istnieje lokalne ekstremum w obu punktach.
Uwaga: Od zmiany znaków możemy dalej powiedzieć, że istnieje lokalne maksimum przy #x = -1 # i lokalne minimum na #x = 1 #.
