Trójkąt ma rogi w (4, 1), (2, 4) i (0, 2) #. Jakie są punkty końcowe dwusiecznej prostopadłościanu?

Odpowiedź:

Łatwe punkty końcowe to punkty środkowe, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# a trudniejsze są tam, gdzie dwusieczne spotykają się z innymi bokami, w tym #(8/3,4/3).#

Wyjaśnienie:

Przez prostopadłe dwusieczne trójkąta przypuszczalnie oznaczamy prostopadłą dwusieczną po każdej stronie trójkąta. Tak więc dla każdego trójkąta są trzy prostopadłe dwusieczne.

Każda dwusieczna prostopadła jest zdefiniowana tak, aby przecinać jedną stronę w jej środku. Będzie również przecinać jedną z pozostałych stron. Zakładamy, że te dwa spotykają się jako punkty końcowe.

Punkty środkowe są

# D = frak 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frak 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frak 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Jest to prawdopodobnie dobre miejsce do poznania reprezentacji parametrycznych dla linii i segmentów linii. # t # jest parametrem, który może mieścić się w realiach (dla linii) lub z #0# do #1# dla segmentu linii.

Oznaczmy punkty #A (4,1) #, #B (2,4) # i #C (0,2) #. Trzy strony to:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3 t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Tak jak # t # idzie od zera do jednego śledzimy z każdej strony.

Zróbmy jeden. #RE# jest środkiem #PNE#, # D = frak 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Wektor kierunku od C do B jest # B-C = (2,2) #. Dla prostopadłości odwracamy dwa współczynniki (tutaj nie ma żadnego efektu, ponieważ oba są #2#) i zaprzeczyć. Zatem równanie parametryczne dla prostopadłego

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Inna linia, inny parametr.) Możemy zobaczyć, gdzie to spotyka się z każdą ze stron.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # sprawdza, czy dwusieczna prostopadła spotyka się z BC w jej środku.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Odejmowanie, # t = 2-3 = - 1 #

To jest poza zakresem, więc prostopadła dwusieczna BC nie uderza w bok AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Odejmowanie, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

To daje drugi punkt końcowy jako

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Trwa to długo, więc zostawię ci dwa pozostałe punkty końcowe.