Trójkąt ma narożniki A, B i C znajdujące się odpowiednio w (3, 5), (2, 9) i (4, 8). Jakie są punkty końcowe i długość wysokości przechodzącej przez narożnik C?

Odpowiedź:

Punkty końcowe #(4,8)# i #(40/17, 129/17) # i długość # 7 / sqrt {17} #.

Wyjaśnienie:

Najwyraźniej jestem ekspertem w odpowiadaniu na dwuletnie pytania. Kontynuujmy.

Wysokość przez C jest prostopadła do AB przez C.

Można to zrobić na kilka sposobów. Możemy obliczyć nachylenie AB jako #-4,# wtedy nachylenie pionu jest #1/4# i możemy znaleźć spotkanie prostopadłe przez C i linię przechodzącą przez A i B. Spróbujmy inaczej.

Nazwijmy stopę pionu #F (x, y) #. Wiemy, że iloczyn punktowy wektora kierunkowego CF z wektorem kierunkowym AB wynosi zero, jeśli są one prostopadłe:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

To jedno równanie. Inne równanie mówi #F (x, y) # jest w linii przez A i B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Spotykają się, kiedy

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Długość CF wysokości jest

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Sprawdźmy to, obliczając obszar za pomocą formuły sznurowadła, a następnie rozwiązując dla wysokości. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frak 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #