Jaki jest zakres funkcji f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Odpowiedź:

Zakres wynosi 1, # oo #)

Wyjaśnienie:

Przy pierwszym spojrzeniu na ten problem skupiłbym się na domenie. Posiadanie x pod pierwiastkiem kwadratowym zwykle skutkuje ograniczoną domeną. Ma to znaczenie, ponieważ jeśli w domenie nie ma punktów, musimy upewnić się, że nie uwzględnimy ich również w zakresie!

Domena dla #f (x) # jest (-# oo #, -#sqrt (1/2) #)# uu #(#sqrt (1/2) #, # oo #), tak jak # 2x ^ 2 -1 # nie może być mniejsza niż #0# lub wynikowa liczba będzie wyimaginowana.

Teraz musimy spojrzeć na zachowanie końcowe, aby zobaczyć, dokąd zmierza funkcja # oo # i -# oo # dla # x #. Patrząc na zachowanie końcowe, możemy zignorować mniejsze szczegóły, które nie wpływają na ogólny kształt funkcji. Opisując zachowanie końcowe, funkcję #g (x) # jest zwykle używany.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

I „podłącz” negatyw i nieskończoność

sol(-# oo #) = # 5 ^ | -oo | #

sol(# -oo #) = # oo #

sol(# oo #) = # 5 ^ | oo | #

sol(# oo #) = # oo #

#f (x) # kieruje się w stronę pozytywnej nieskończoności

Teraz musimy znaleźć minimum, którym jest funkcja. Weź pod uwagę, że #f (x) # nie jest ciągły, ponieważ wykazaliśmy się w jego ograniczonej dziedzinie.

Od #f (x) # jest funkcją parzystą (symetryczną na osi y) i # y # zwiększa się wraz z wielkością # x # robi, minimum # y # wartość zostanie znaleziona gdzie # x # jest najbliżej 0. W naszym przypadku będzie -#sqrt (1/2) # lub #sqrt (1/2) # z powodu ograniczonej domeny. Podłączmy się #sqrt (1/2) # znaleźć minimum.

fa(#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

fa(#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

fa(#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

fa(#sqrt (1/2) #) = #5^0#

fa(#sqrt (1/2) #) = 1

Tak więc zakres będzie wynosił 1, # oo #)

Odpowiedź:

1, dodatnia nieskończoność

Wyjaśnienie:

Podczas wykresowania tej funkcji (polecam Desmosa, jeśli go nie masz), możesz zobaczyć, że najniższa część funkcji dotyka 1 na osi y, i kontynuuje dodatnio do nieskończoności. Łatwym sposobem na znalezienie tego bez wykresu jest sprawdzenie, czy masz jakieś ograniczenia w równaniu. Ponieważ nie ma pierwiastków kwadratowych liczb ujemnych, wiemy, że jeśli ustawimy wykładnik na 0, możemy znaleźć najniższą możliwą wartość x.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

# x = sqrt (1/2) #

Teraz, gdy mamy ograniczenie domeny, możemy użyć tego do oryginalnego równania

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Teraz ustaliliśmy, że najniższa możliwa wartość y wynosi 1 i nie ma ograniczeń co do tego, jak wysokie mogą być wartości y. Dlatego zakres jest od dodatniego 1 (włącznie) do dodatniej nieskończoności.