Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej w nieskończenie powtarzanej grze?

Odpowiedź:

# „Odpowiedź D” ”#

Wyjaśnienie:

# „Jest to jedyna logiczna odpowiedź, pozostałe są niemożliwe.” #

# „To jest problem zrujnowania hazardzisty.” #

# „Gracz zaczyna od k dolara.” #

# „Gra, dopóki nie osiągnie G dolara lub nie spadnie do 0”. #

#p = "szansa, że wygra 1 dolara w jednej grze." #

#q = 1 - p = "szansa, że straci 1 dolara w jednej grze." #

# „Wywołaj„ r_k ”prawdopodobieństwo (prawdopodobieństwo), że zostanie zrujnowany.” #

#"Następnie mamy"#

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "z" 1 <= k <= G-1 #

# „Możemy przepisać to równanie z powodu p + q = 1 w następujący sposób:” #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# „Teraz mamy przypadek” p = q = 1/2 #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Dla" r_k "mamy" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# „Więc gracz A zaczyna się tutaj od k = dolara i gra do” #

# "zostaje zrujnowany lub ma dolara + b." #

# => k = a, "i" G = a + b #

# „Więc szanse na to, że zostanie zrujnowany są” #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# „Szanse na wygraną są” #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => „Odpowiedź D” ”#