Załóżmy, że istniała podstawa i pewna liczba wymiarów dla podprzestrzeni W w RR ^ 4. Dlaczego liczba wymiarów 2?

Odpowiedź:

4 wymiary minus 2 wiązania = 2 wymiary

Wyjaśnienie:

Współrzędne 3 i 4 są jedynymi niezależnymi. Pierwsze dwa można wyrazić w kategoriach dwóch ostatnich.

Odpowiedź:

O wielkości podprzestrzeni decyduje jej podstawa, a nie wymiar jakiejkolwiek przestrzeni wektorowej jest to podprzestrzeń.

Wyjaśnienie:

Wymiar przestrzeni wektorowej jest definiowany przez liczbę wektorów w oparciu o tę przestrzeń (dla nieskończonych przestrzeni wymiarowych jest określony przez liczność podstawy). Zauważ, że ta definicja jest spójna, ponieważ możemy udowodnić, że każda podstawa przestrzeni wektorowej będzie miała taką samą liczbę wektorów, jak każda inna podstawa.

W przypadku # RR ^ n # wiemy to #dim (RR ^ n) = n # tak jak

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

jest podstawą # RR ^ n # i ma # n # elementy.

W przypadku #W = s, t w RR # możemy napisać dowolny element # W # tak jak #svec (u) + tvec (v) # gdzie #vec (u) = (4,1,0,1) # i #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Z tego mamy to # {vec (u), vec (v)} # jest zestawem opinającym dla # W #. Bo #vec (u) # i #vec (v) # z pewnością nie są skalarnymi wielokrotnościami siebie (zwróć uwagę na pozycje #0#s), to znaczy # {vec (u), vec (v)} # to liniowo niezależny zestaw rozpinający dla # W #to znaczy podstawa. Bo # W # ma podstawę #2# elementy, mówimy tak #dim (W) = 2 #.

Należy zauważyć, że wymiar przestrzeni wektorowej nie zależy od tego, czy jej wektory mogą istnieć w innych przestrzeniach wektorowych o większym wymiarze. Jedyna relacja jest taka, jeśli # W # jest podprzestrzenią # V # następnie #dim (W) <= dim (V) # i #dim (W) = dim (V) <=> W = V #

Załóżmy, że F jest macierzą 5xx5, której przestrzeń kolumnowa nie jest równa RR ^ 5 (5 wymiarów). Co można powiedzieć o zerowym F?

Wymiar „null” (F) to 5- „ranga” (F)> 0 Macierz F 5xx5 odwzoruje RR ^ 5 na podprzestrzeń liniową, izomorficzną na RR ^ n dla niektórych n w {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Ponieważ powiedziano nam, że ta podprzestrzeń nie jest całością RR ^ 5, jest izomorficzna dla RR ^ n dla pewnej liczby całkowitej n w zakresie 0-4, gdzie n jest rangą F. Taka podprzestrzeń jest czterowymiarową hiperpłaszczyzną , Trójwymiarowa hiperpłaszczyzna, 2-wymiarowa płaszczyzna, 1-wymiarowa linia lub punkt 0-wymiarowy. Możesz wybrać n wektorów kolumn, które obejmują tę podprzestrzeń. Możliwe jest wówczas skonstruowanie 5-n nowych wek

Załóżmy, że S1 i S2 są niezerowymi podprzestrzeniami, z S1 zawartym w S2 i załóżmy, że dim (S2) = 3?

1. {1, 2} 2. {1, 2, 3} Trik polega na tym, aby zauważyć, że dana podprzestrzeń U przestrzeni wektorowej V ma dim (U) <= dim (V). Łatwym sposobem na to jest zwrócenie uwagi, że każda podstawa U nadal będzie liniowo niezależna w V, a zatem musi być albo podstawą V (jeśli U = V), albo mieć mniej elementów niż podstawa V. Dla obu części problemu, mamy S_1subeS_2, co oznacza, że powyższy dim (S_1) <= dim (S_2) = 3. Dodatkowo wiemy, że S_1 jest niezerowe, co oznacza dim (S_1)> 0. 1. Jako S_1! = S_2, wiemy, że nierówność dim (S_1) <dim (S_2) jest ścisła. Zatem 0 <dim (S_1) <3, co oznacza dim (S_1

Załóżmy, że klasa uczniów ma średni wynik SAT z matematyki równy 720 i średni wynik werbalny 640. Odchylenie standardowe dla każdej części wynosi 100. Jeśli to możliwe, znajdź odchylenie standardowe dla wyniku złożonego. Jeśli nie jest to możliwe, wyjaśnij dlaczego.

141 Jeśli X = wynik matematyczny i Y = wynik słowny, E (X) = 720 i SD (X) = 100 E (Y) = 640 i SD (Y) = 100 Nie można dodać tych odchyleń standardowych, aby znaleźć standard odchylenie dla wyniku złożonego; możemy jednak dodać wariancje. Wariancja to kwadrat odchylenia standardowego. var (X + Y) = var (X) + var (Y) = SD ^ 2 (X) + SD ^ 2 (Y) = 100 ^ 2 + 100 ^ 2 = 20000 var (X + Y) = 20000, ale ponieważ chcemy odchylenia standardowego, po prostu weź pierwiastek kwadratowy z tej liczby. SD (X + Y) = sqrt (var (X + Y)) = sqrt20000 ~~ 141 Zatem odchylenie standardowe złożonego wyniku dla uczniów w klasie wynosi 141.